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1、第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院2.6 从系统动态方程求系统传递函数（阵） 系统动态方程和系统传递函数（阵）是控制系统两种 经常使用的数学模型。 动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清 楚地表达了系统内部状态变量的关系。 相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。 我们已知道，从传递函数到动态方程是个系统实现的 问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。 但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、比 较简单的过程。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程
2、程 学学 院院2已知线性定常系统的状态空间表达式为式中 x(t)系统n维状态向量；u(t)系统r维输入向 量；y(t)系统m维输出向量。 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论3对上式两端取拉氏变换，可得设初始条件x(0)=0，则有式中, ， mr 维。传递函数阵第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院W(S)为一个mr的传递函数阵，即：其中，wij(s)为一标量传递函数，它表示第j个系统输入 对第i个系统输出的传递作用。第二章第二章 状态空间分析法
3、状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院5对于单输入单输出（SISO）系统，按上式求出 的W(s)为系统的标量传递函数，可表示为当系统的传递函数无零极点对消时，有第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论6(1)系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多项式；(2)传递函数的极点就是A的特征值。由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传 递函数阵却是惟一的。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工
4、工 程程 学学 院院现代控制理论7补例 ：已知系统的状态空间表达式为试求其传递函数阵。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论8解: 传递函数阵为： 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院【例2-14】求下列动态方程的传递函数。解：第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院在MATL
5、AB中，用SS2TF语句可以直接求出W(S)。A=-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2; B=-2;1;1;C=4 6 2;D=0; NUM,DEN=ss2tf(A,B,C,D) end第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院2.7 离散时间系统的状态空间表达式 离散时间系统就是系统的输入和输出信号 只在某些离散时刻取值的系统。 与离散时间系统相关的数学方法有差分方 程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。 离散时间系统一般用差分方程表示其输入 和输出信号的关系。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代
6、控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院设系统n阶差分方程为： 表示时刻 为采样周期；， 分别为时刻 的输入、输出； 表征系统特征的常系数。 系统脉冲传递函数为输出信号的Z变换与输入信号的 Z变换之比:与连续时间系 统传递函数在 形式上相同 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。 离散系统动态方程一般形式为：式中 x(k)系统的n维状态向量；u(k)系统的r维输 入向量（控制向量）；y(k)系统的m维输出向量； G(
7、k)nn线性离散系统的系统矩阵；H(k)nr线性 离散系统的控制矩阵；C(k)mn线性离散系统的输 出矩阵；D(k)mr线性离散系统的直接传输矩阵。 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论14如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，上式就变为线性定常离散系统，其状态空间表达式为：第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院方块图表示如
8、图：单位延迟环节，具 有T秒的时间延迟 。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论16u差分方程式化为状态空间表达式1差分方程的输入函数为bu(k)时设系统的差分方程为选取状态 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院17则高阶差分方程可化为一阶差分组第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院18写成向量方程形式，得第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河
9、河 南南 工工 程程 学学 院院19或 其中：第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院2差分方程的输入函数包含u(k) u(k+1)， 时设系统差分方程为第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现
10、代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院可选择如下一组状态变量第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院或：第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院24例：已知离散系统的差分方程为：试求系统的状态空间表达式。解：选状态变量第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院25则状态空间表达式第二章第二章
11、 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院现代控制理论26脉冲传递函数化为状态空间表达式线性离散系统的脉冲传递函数为它可仿照连续系统的部分分式法来建立离散系统的状态空间表达式。第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院2.8 MATLAB在状态空间分析法中的应用第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二
12、章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院一、系统的模型 1.1.传递函数模型传递函数模型 设单输入单输出（SISO）连续系统的传递函数为 G(s)= 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院在MATLAB中,可用传递函数分子、分母多项式按 s的降幂系数排列的行向量,即 来描述上式所示传递函数G(s)的多项式模型。而由命 令函数tf( )则可建立系统的传递函数模型TF，其
13、调用 格式为 sys=tf(num,den) 其中, num、den分别是传递函数分子、分母多项式 系数行向量,且系数均按s的降幂排列。 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院设单输入单输出离散系统的脉冲传递函数为 G(z)= 在MATLAB中,对于离散系统同样可用tf( ) 命令 建立其脉冲传递函数模型，调用格式为 num=cm,cm-1, ,c1,c0; den=an,an-1, ,a1,a0; sys=tf(num,
14、den,Ts) 其中, Ts 为系统采样周期。 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院另外,系统的传递函数还可表示成零极点形式,即 G(s)= 在MATLAB中，可用传递函数的零点向量、极点 向量及增益,即 描述传递函数G(s)的零极点模型。而由命令函数zpk( ) 则可建立零极点模型ZPK，其调用格式为 第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理论河河 南南 工工 程程 学学 院院第二章第二章 状态空间分析法状态空间分析法* *现代控制理论现代控制理
