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1、20 (刃年第1 1姆六盘水师专学报第12卷第1期2XX)年3月六盘水师专 学报Ju orn alofIJiul犯IlshuiTeaehe sr肠1 1铭eVd.12NO.1N巨r.2以X)解析几何 中三点共线 的证法简介刘天麻摘要解析JL和川,三点共线的证明,对初学解析 几何的学生来说,己感觉无法入手。本文就课本上的一 个习题,介绍八 种: : . .用的证明方法。关健词解妇儿柯三点共线证法 对初学 解扫,JL.f叮的学 生 来 说,怎样证明三点 在一条 直线J.叩证明三 点共线,总感觉 无 从下 手,不 好证明勺此.仁文 准 备就现行高中数 学教 材中的一个习月也,介州八种证明方 法,以供
2、大家参 考。问题:已)J:_点入(1,一1)、B(3,3)、C(4,5)。求证:三 点在一关直 线 上。(现行 高 级中学 课 本 平面 解析几们、了题一,1 P3第 1 4题) 分析一:要证A、B、C三 点 在 一 条 直 线 上,由 于它们的横 坐知、满足l34,即点B在线 段AC 之间,所以只 要证 明 A131+1汇二AC即可。这 点可由两 点问的距离公式,分别求出助J 玉、1洲 二 、IAC即可证妇。证法一:由两点间的距离 公式,可得:IAB=了万二= l )十( 3+l ),=侧厄 石=2污,11犯l=.了(4一3)2,(5一3)2=污,1Ael=石万不砰万万3习j二丫万 亏二3污
3、, . IB AI十11犯二2污十污二、污二AC,A、B、C三点 在 一 条直线上。分析二:由t经过A、C两点的直线与坐标 轴 不平行,由直线、C上必有 一点P,其 横 坐标为3,故可设 ( P3,y.,)为有向线段入的一 个 分 点,利用 定比分点的坐t, j公式,求出点P分入己的比入,进 而 求出分点P的纵坐标y 0。若点P与点B的坐标 相同,即P点与11点为同一 点,则A、B、C三点共 线。证法二:设!,(3,y 0)是 有向线段AC的一个 分一3二O,只11点R(3,3)在直线Zx一y一3=0上(点 B在 直线AC上)。所以A、B、C三点 共线。分析五:分别 求出直线户d 3、1夕已的
4、方程,若两 个方 程相同,则直线AB与I艾二重合,从而A、B、C三点共线。证法五:直线A13的方程 为:v一之 一1一3即:Zx一y一3=0;而 直线曰忍的方程为:x一31一3丫 一3_5一3x一3no., 、。.、,一.,、卜,今一崔,即:Zx一y一3=0。所以直线A13与 直线3二 4一3一一了“,一JJ的方程相同,从而直线A13与B C重合,A、B、C三 点共线。分析六:利用点 到直线的距离公 式。先求出 经过其中任意两点 的直 线方程,然 后 求第三个 点 到此直线的距离,若此距离为零.则第三 个点 在前 两点 确 定的直线上,从而这三个点 共线。证法六:经 过A、C两 点的直线方程
5、为:Zx一y一1二0,而 点13(3,3 )到直 线AC的距离d二骼导瑞一。,即点B在直线AC上,所。、I玉、C三点共 线。分析七:利用两 条直线的夹角公 式。求出直 线AB与直线1弘二的夹角.若此夹角为0 ,则直 线 A 3与直 线曰二重 合,A、B、C三点共线。证法七:直线AB、B C的斜率 分别为:K邓=2,K哎二2 (证法 三中所 求)。设直线户d3与I犯的夹 角为O,则:t即一比荟誓架一l一片共杀一。;所以。l月 、哎一互、产切1丁八l一3 3一4=O ,即直 线AB与直 线1犯的 平角为0 ,所以直 线A13与l犯重合,A、B、C三点共线。分析八:学 过 行 列 式的同学,可 利用
6、 三点l P 点,则点P分A(所成的比入=2,所以y 0=二一碧一3,即点P与点。合。因为点P在AC上,所以A、l、C三点共线。分析三:要 证A、玛、C三 点共线,可先 证 直 线 1 A3与直线lr的斜率相等,得出ABBC,又直线AB与1 艾二都过同一点B,所以直线越玉与B C重 合,A、I弓、C三点!七线。证法三:力线I A弓、l汇的斜率 分别为:K月,=3一(一l)、,5一3.,.,一匕下戈丫以=2.K. =手长=2,从 而K劫、=f K、.直3一1“、 认4一3,、川J、月”、坟 线月列直线l l (,又因 为直线 lA玉与BC都过同一 点I玉,所以直线八 B与l弓C重合,A、B、C三
7、点共线。分析四:要证A、13、C三 点共线,可先求出经 过其中任意两 点的直线方程,然后证明第 三个 点 在此 直线上。证法四:经 过A、C两 点的直 线 方 程为:(x:,y l)、玮(xZ,史)、巧(x 3,y 3)共线的充要条 件是:X,y:, iyZ一。x 3y3卫 证法八:因为二一二一3十,5十。一4)451一12一5一(一3)=O,所以A、13、C三点共 线。通过上述八种证明方法,一方而丰富了三 点 共线的证明方 法,另一方而又巩固了所学的平面 解析儿何知识。既 开 拓了学 生的思维,又培 养了 学生的能力。参考书目:高级中学平而解析儿何)教学参考书。人民教育出版社。(作者单位:六盘水市第三中学)(校对:)v一(一l)_犯又 5一(一)一一,UIJ:Zx一y一3=0。而2只3一3l4l
