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1、1第第 4 4 课时课时 单摆单摆研究选考把握考情考试要求知识内容单摆 加试 c教学要求1.知道单摆是一个理想化模型和做简谐运动的条件2.知道单摆做简谐运动时回复力的特点和表达式3.知道单摆的周期与振幅、摆球质量无关4.掌握单摆的周期公式5.知道测量单摆周期的方法，会用单摆测定重力加速度6.经历单摆做简谐运动条件的分析过程，体会摆角很小时的近似方法7.会用图象法处理用单摆测定重力加速度的实验数据，会求加速度8.经历单摆周期的探究过程，体会探究过程中猜想与数据处理的作用说明1.不要求掌握证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动的方法2.不要求解决钟表快慢的调整问题知识点一 单摆的回复力基 础 梳 理
2、1.单摆：用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。2.单摆的回复力：在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。要 点 精 讲1.单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型(2)实际摆看作单摆的条件摆线的形变量与摆线长度相比小得多摆线的质量与摆球质量相比小得多摆球的直径与摆线长度相比小得多2.单摆的回复力2(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力Fmgsin 提供的。(2)在最大偏角很小的条件下，单摆的回复力Fx，其中x为摆球相对平衡位置O的mg
3、 l位移。由此可见：单摆的回复力与离开平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，因此单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动。注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零。(2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力【例 1】 对于单摆，以下说法中正确的是( )A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析 单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力
4、大小为，可见最mv2 l大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零。故选项 C 正确。答案 C名师点睛 单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)。知识点二 实验：探究单摆周期与摆长的关系要 点 精 讲3操作指要1.要保证单摆在同一竖直平面内摆动。2.摆动偏角尽量不要大于 5。3.悬线上端不要随摆球摆动，一定要使之固定。4.测量线长
5、时要将其挂好后再测量。5.开始计时的位置选在摆球经过平衡位置时。6.测量周期时，一般测单摆振动 3050 次全振动的时间，再求周期。7.处据数理时，一般作出LT2的关系图象，找出周期与摆长的关系。【例 2】 某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(填“是”或“否”)。把单摆从平衡位置拉开约 5释放；_在摆球经过最低点时启动秒表计时；_用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期。_该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见下表。用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图 1 所示，该球的直径为_ mm。根据表中数据可以初步判断单摆周期随_的增大而增大，与摆球的质量无关。图 1数据
6、组编号摆长/mm摆球质量/g周期/s1999.332.22.02999.316.52.03799.232.21.84799.216.51.85501.132.21.46501.116.51.4答案 是 是 否 20.683(20.68220.684) 摆长4知识点三 单摆的周期基 础 梳 理荷兰物理学家惠更斯确定了计算单摆周期的公式：T2，即单摆做简谐运动的周期Tl g与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关(填“有关”或“无关”)。要 点 精 讲1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。2.对单摆的周期公式T2的理解。l
7、 g(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为 5时，由周期公式算出的周期和精确值相差 0.01%)。(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离ll线r球。(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。【例 3】 用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )A.不变B.变大C.先变大后变小再回到原值D.先变小后变大再回到原值解析 单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而
8、周期先变大后变小再回到原值，故选项 C 正确。答案 C5知识点四 实验：用单摆测定重力加速度要 点 精 讲操作指要1.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。2.强调在同一平面内振动且摆角小于 5。3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。4.小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长ll线r。5.选用一米左右的细线。6.数据据理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g中，求出g值，最后求42l T2出g的平均值。(2)图象法：由T2得T2l作出T2l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴，如l g42 g
9、图 2 所示。其斜率k，由图象的斜率即可求出重力加速度g。42 g图 26【例 4】 下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：摆长l/m0.40.50.60.81.01.2周期平方T2/s21.62.22.43.24.04.8(1)利用上述数据，在图 3 中描出lT2的图象。图 3(2)利用图象，取T25.2 s2时，l_ m，重力加速度g_ m/s2。解析 (1)描点作图如图所示。(2)由图可知当T25.2 s2时，l1.3 m，将它代入g得：42l T2g m/s29.86 m/s242l T24 3.142 1.3 5.2答案 (1)见解析图 (2)1.3 9.86 1.关于单摆
10、，下列认识中正确的是( )A.一根线系着一个球悬挂起来，这样的装置就是单摆B.可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多C.单摆的振动总是简谐运动D.两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同解析 单摆是实际摆的思想化模型，实际摆只有在不计绳的伸缩、质量和阻力以及小球可以看做质点时才能看做单摆，选项 A 错误，B 正确；单摆的运动只有在摆角很小时才能看做简谐运动，选项 C 错误；两单摆结构相同时，振动步调不一定相同，选项 D 错误。答案 B2.单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆的周期发生变化( )A.摆长减为原来的四分之一B.摆球的质量减为原来的四分之一7C.振
11、幅减为原来的四分之一D.重力加速度减为原来的四分之一解析 由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关。答案 AD3.(20164 月浙江选考)摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同，其振动图象如图4 所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面，由图可知( )图 4A.甲、乙两单摆的摆长之比是4 9B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等解析 由振动图象得甲、乙周期之比为 23，根据T2，得摆长之比为 49，A 正确；l gta时刻位移相同，但二者摆长不同，所以摆角不同，B 错误；tb时刻甲的摆球在最高点，乙的摆球在平衡位置，
12、又因为悬点高度相同，乙的摆长比甲的摆长长，所以此时二者重力势能相差最大，C 正确；tc时刻甲、乙的摆球都在各自平衡位置，速率最大，但二者在最高点距平衡位置的距离不同，所以平衡位置速率不同，D 错误。答案 AC4.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g_。若已知摆球直径为 2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图 5 所示，则单摆摆长是_ m。若测定了 40 次全振动的时间是 75.2 s，单摆摆动周期是_。图 58为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如
13、图 6 所示，则：图 6单摆做简谐运动应满足的条件是_。试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g_ m/s2。(结果保留两位有效数字)解析 由T2，可知gl g42l T2由题图可知：摆长l(88.501.00)cm87.50 cm0.875 0 m周期T1.88 s。t 40单摆做简谐运动的条件是摆角5。把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k。T2 l由g，可得g9.9 m/s2。42l T242 k答案 见解析一、选择题(在每小题给出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。)1.单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是
14、( )A.摆线质量不计B.摆线长度不可伸缩C.摆球的直径比摆长长度短得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩。只有在摆角很小(5)的情况下才能视单摆运动为简谐运动。故正确答案为9A、B、C。答案 ABC2.关于单摆，下列说法中正确的是( )A.摆球运动的回复力是它受到的合力B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度为零解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C
15、、D 错；由简谐运动特点知 B 正确。答案 B3.如图 1 所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉一小角度后释放，碰撞B球后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则( )图 1A.如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果mAmB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.只有当mAmB，才能使得下一次碰撞发生在平衡位置D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都一定在平衡位置答案 D4.已知在单摆a完成 10 次全振动的时间内，单摆b完成 6 次全振动，两单摆摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长la与lb分别为( )A.la2.5 m，lb0.9 m B.la0.9 m，lb2.5 mC.la2.4 m，lb4.0 m D.la4.0 m，lb2.4 m解析 单摆完成一次全振动所需的时间即单摆的周期，据题设可知a、b两单摆的周期之比为：10，Ta Tb6 10由单摆周期公式T2得：l g，Ta Tblalb据题设得lbla1.6 m，联立解得la0.9 m，lb2.
