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May 2012四川大学数学学院 徐小湛空间曲线积分的 向量点积法1May 2012四川大学数学学院 徐小湛空间曲线积分的“向量点积法”是斯托 克斯公式的一种改进的方法。在计算空间曲线积分时，通常是先利 用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面 积分，再将曲面积分化为二重积分。而“向量点积法”则是直接将曲线积分 化为二重积分，减少了中间环节。2May 2012四川大学数学学院 徐小湛当且 L 是的正向边边界曲线线，则有以下公式： 取上（下）侧时，取正（负）号空间间曲线积线积 分的向量点积积法3May 2012四川大学数学学院 徐小湛证明由斯托克斯公式其中单位法向量 （教材98页）再利用对面积的曲面积分的 计算公式（教材217页）4May 2012四川大学数学学院 徐小湛 取上（下）侧时，取正（负）号以上公式可以写成行列式的形式：5May 2012四川大学数学学院 徐小湛例1 计计算积积分其中 为为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标标面所截三角形的整解: 记记三角形域为为 , 取上侧侧个边边界, 方向如图图所示. 由前面的公式6May 2012四川大学数学学院 徐小湛解7May 2012四川大学数学学院 徐小湛由前面的公式8
