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1、第五节一、曲面方程的概念二、几种常见的曲面及其方程 曲面及其方程 第七章 一、曲面方程的概 念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解 设轨迹上的动点为轨迹方程. 1. 定 义如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.(2) 不在曲面 S 上的
2、点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：例1故所求方程为方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .求动点到定点例 2解 配方得此方程表示:说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 半径为的球面.球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 2. 两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以M0 (x0
3、 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程2. 球面3. 旋转曲面1. 平面3.旋转曲面(1) 定义一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴如图，代入(2)转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征 ：xyzo得旋转曲面 的方程：由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：出现某两变量的平方和.(3) 常见的旋转曲面 圆柱面：yzoxo 圆锥面直线 L 绕另一条与其 相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点, 叫圆锥面的半顶角. 两直线的夹角 试建立顶点
4、在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程(0 绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：xyzo双叶双曲面单叶双曲面绕z轴旋转而成的曲面：z yxozyxoo 旋转双曲面双叶双曲面单叶双曲面解例3过点 M 作垂直于z 轴 的平面，它与所给直线 L的交点为故所求旋转曲面方程为:旋转单 叶双曲 面dPL注 一般地，旋转单叶双曲面还可成是由直线或绕z轴旋转而成.因而旋转单叶双曲面又称为直纹面.xyzO 旋转椭球面绕 y 轴旋转而成的曲面：旋转椭球面 旋转抛物面绕 z 轴旋转而成的曲面： 旋转抛物面xzyo(1) 定义观察柱面的形 成过程:平行于定直线并沿定曲线 C 移动的 直线L 所形成的曲面称为
5、柱面.这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.4. 柱面xyzo注 柱面的准线不惟一.o准线C准线C 母线 L(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征方程中缺少一个变量 (该坐标轴的变量) 如：表示母线 / z 轴的柱面. 事实上， 过点M 作垂直于 xoy 面的垂线， 则此垂线与 C 的交点M1(x, y, 0)的坐标必满足 ： 反之，不在上的点M，其在 xoy 面上的投影点M1 不在C上，从而其坐标不满足该方程.xyzoo准线C ：母线 L曲面 M M1类似地，表示母线 / x 轴的柱面.表示母线 / y 轴的柱面.小结：（其他类推）(3)常见的二次柱面 椭圆柱面母线 / 轴
6、xyzoo 双曲柱面母线 / 轴xyzoo 抛物柱面母线 / 轴特殊柱面 ： 平面xyzoxyzo内容小 结 1. 空间曲面三元方程 2. 球面3. 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面:4. 柱面如, 曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如, 椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .(旋转曲面的概念及求法).(母线、准线).1. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？思考题解平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程2.直线绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 解在 L 上任取一点设 M(x, y, z)为M0 绕z 轴旋转轨迹上任一点,则有旋转曲面方程将 y0=z 代入第二方程，得备用题例1-1解根据题意有所求方程为方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底解例2- 1
