曲线和曲面上的积分

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1、曲线和曲面上的积分曲线积分 2.曲线积分1第一型线积分原型 基本问题：曲线上的纯量计算(例如: 曲线形物体的质量, 电量) 计算的想法： 分小段-近似-极限: Riemann积分 引入Lebesgue测度: Lebesgue积分2正则曲线上的Lebesgue测度 可测集：设CRn(n1)为正则曲线, 其长度 为l, : 0,l Rn是其自然表示. EC,若- 1(E)为0,l 的可测集, 称E为C的可测集. 可测集的测度: |E|=|-1(E)| 不难验证如此定义的测度满足测度的性质 ： 单调性 可数可加性 留作习题#3第一型线积分定义 设CRn(n1)为正则曲线,其长度为l, : 0,l R

2、n是其自然表示. 对于h: C R.如果h0 L(0,l), 就说h在C上可积, 称h0在0, l上的 积分为h在C上的第一型线积分, 记为 第一型线积分的定义以自然地推广到分段正 则曲线4第一型线积分的计算 设CRn(n1)为正则曲线, : a,b Rn是其 正则表示. 对于h: C R.如果h0 L(a,b). 则h在C上的第一型线积分存在, 并且 证明: 由C的弧长函数s=s(t): a,b 0,l作 变量替换, (s)=(t(s)是C的一个自然表示 (t(s)是弧长函数的反函数). 由一元变量替换5第一型线积分的值与曲线 方向的取法无关 只要讨论曲线的自然表示就可以了, 的反 向表达式

3、为y(t)=(l-t),由变量替换得到6第一型线积分例1 设C为平面上的上半单位圆:x2y21, y0 计算线积分 解: 取C的正则表示(t)=(cos t,sin t), t0, ,则, |(t)|=17第一型线积分与质量 设C是一根物质棒, 假设它的粗细与其长度 相比小得可以不计, 也就是把它看成是一条 正则曲线, 假设它的密度函数r(x)是C上的连 续函数, 那么这根物质棒的总质量M是r(x) 在C上的第一型线积分8推导公式(*)的微元法 微元法：分块-近似-求和-取极限 分块: 将曲线C分成m段分点依次为P0,P1, Pm, 记DSk为Pk-1和Pk之间的曲线段 (k=1,m) 近似:

4、 取xkDSk, 用r(xk)|DSk|近似在DSk上的质量( 在使用中也简写成r(xk)ds) 求和: 把各段的近似加起来S r(xk)DSk 取极限: 令最大弧段长趋于零, 极限定义为总质量 微元法应用的理论基础: Riemann积分 微元法提供了应用的形象化手段9微元法推导曲线棒质心 设C是一根物质棒, 其密度函数r(x). 计算其质 心P. 解: 已知有限个质点(Pk,mk) (k=1,r,)质心的 计算公式P=SmkPk/Smk 物质棒质心的计算: 分块-近似: xkr(xk)ds,r(xk)ds 近似质心: Sxkr(xk)ds/Sr(xk)ds 取极限得到质心公式: 10质心公式

5、解释 公式分量形式11第二型线积分 场的概念 第二型线积分的定义 第二型线积分与功 积分与路径无关有势场(原函数)12场的概念 定义 设WRn.W上的数值函数称为W上的 数量场; W上到Rn的变换称为W上的一个向 量场 对场理解上的特点：设F是W上的一个场, 我 们把W上点和在这个点上的场的值联系起来 理解, 犹如两者粘在一起了. 例如, 温度场合 重力场13第二型线积分的定义 设CRn(n1)为正则曲线,其长度为l, : 0,l Rn 是其自然表示. F为C上的向量场.如果(F0) L(0,l),就其积分定义为向量场F沿C的第二型线积 分, 记为 第二型线积分的定义以自然地推广到分段光滑曲线

6、 称w=F dx= F 1dx1 + F ndxn为微分1-形式, 上述积分 也叫微分1-形式w沿C的积分 注意: 第二型线积分与C的方向有关14第二型线积分的计算 设CRn (n1)为正则曲线, : a,b Rn是其 正则表示. F为C上的向量场.如果(F0 ) L(a,b) 则F在C上的第二型线积分为 证明: 由C的弧长函数s=s(t): a,b 0,l作 变量替换, (s)=(t(s)是C的一个自然表示 (t(s)是弧长函数的反函数). 由一元变量替换15第二型线积分与曲线方向的关系 只要讨论曲线的自然表示就可以了, 的反 向表达式为y(t)=(l-t),由变量替换得到16第二型线积分例

7、1 设F为常值向量场, C为直线段: x=x0+tv, ta,b, 计算F沿C的第二型线积分. 解: x(t)=v, Fdx=F(x(t)x(t)dt=F vdt, 所以17第二型线积分例2 设C是R3中柱面x2+y2=1和平面x+y+z=0的 交线, 其方向与z轴的方向满足右手螺旋法 则, 计算向量场F=(y-z,z-x,x-y) 沿C的积分 解: 取C的表示式: (t)=(cos t, sin t,-cos t-sin t), t0,2 (t)=(-sin t, cos t,sin t-cos t) F(t)=(cos t+2sin t,-2cos t-sin t, cos t-sin t

8、) F(t) (t)=-318第二型线积分例3 考虑Rn0中的向量场F(x)=-x/|x|3, A, B为 Rn0内的两点.证明: F沿Rn0中任何由A 到B的光滑曲线的积分与曲线的选择无关. 证明: 任取连接A,B的曲线C, :a,bRn0 满足(a)=A, (b)=B. 由19第二型线积分例3(续) 所以也就是仅与A,B有关.#20第二型线积分与功 下面用微元法导出力场沿曲线路径作功的 第二型线积分表达式. 设C是R3中的一条光滑曲线, F是R3中的一 个力场,计算一个质点在F的作用下沿曲线C 由其上A点到B点所作的功 分段：在曲线上由A至B, 依次取点A=P0,P1, Pm=B21第二型

9、线积分与功(续) 近似: 取曲线C上在Pk-1,Pk间的一个点xk, 用近似质点沿C由Pk-1至Pk力场F所作的功 求和取极限就得到F所作的功为22积分与路径无关有势场 设W是Rn中连通开区域, F是W上的一个连续 向量场, 则F在W中沿任何光滑曲线的积分仅 与初始点和终点有关当且仅当F是W上一个 数值函数的导数. 证明: 条件的充分性可以由例3的方法证明 ; 下面证明条件的必要性, 取定W中一点x, 定 函数23积分与路径无关(续) 任取yW, k1,n, hR不为零,则取连接y和y+hek的曲线为连接两点的直线段, 则由此就得到结论#24有势场 满足上述条件的向量场, 以其为导数的数值 函数称为这个向量场的势函数25