最小二乘法和线性回归

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1、第二章最小二乘法（OLS） 和线性回归模型1本章要点 最小二乘法的基本原理和计算方法 经典线性回归模型的基本假定 BLUE统计量的性质 t检验和置信区间检验的原理及步骤 多变量模型的回归系数的F检验 预测的类型及评判预测的标准 好模型具有的特征2第一节 最小二乘法的基本属性 一、有关回归的基本介绍金融、经济变量之间的关系，大体上可以分为两种：（1）函数关系：Y=f(X1,X2,.,XP)，其中 Y的值是由Xi（i=1,2.p）所唯一确定的。（2）相关关系: Y=f(X1,X2,.,XP) ，这里 Y的值不能由Xi（i=1,2.p）精确的唯一确定。3图2-1 货币供应量和GDP散点图4 图2-1

2、表示的是我国货币供应量M2（y）与经过季节调整的GDP（x）之间的关系（数据为1995年第一季度到2004年第二季度的季度数据）。5 但有时候我们想知道当x变化一单位时，y平均变化多少，可以看到，由于图中所有的点都相对的集中在图中直线周围，因此我们可以以这条直线大致代表x与y之间的关系。如果我们能够确定这条直线，我们就可以用直线的斜率来表示当x变化一单位时y的变化程度，由图中的点确定线的过程就是回归。 6 对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的统计资料，找出它们在数量变化方面的规律（即“平均”的规律），这种统计规律所揭示的关系就是回归关系（regressive relationship）,所

3、表示的数学方程就是回归方程（regression equation）或回归模型（regression model）。7 图2-1中的直线可表示为 （2.1）根据上式，在确定、的情况下，给定一个x值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个误差（即图2-1中点到直线的距离）。 8 如果我们以表示误差，则方程（2.1）变 为： 即： 其中t（=1,2,3,T）表示观测数。 （2.2）（2.3）式（2.3）即为一个简单的双变量回归模型（因其仅具有两个变量x, y）的基本形式。 9 其中yt被称作因变量（dependent variable）、被解释变量（exp

4、lained variable）、结果变量（effect variable）； xt被称作自变量（independent variable）、解释变量（explanatory variable）、原因变量（causal variable）10 、为参数（parameters）,或称回归系数（regression coefficients）； t通常被称为随机误差项（stochastic error term）,或随机扰动项（random disturbance term）,简称误差项， 在回归模型中它是不确定的，服从随机分布（相应的，yt也是不确定的，服从随机分布）。 11 为什么将t 包含在

5、模型中？ （1）有些变量是观测不到的或者是无法度量的，又或者影响因变量yt的因素太多； （2）在yt的度量过程中会发生偏误，这些偏误在模型中是表示不出来的； （3）外界随机因素对yt的影响也很难模型化，比如：恐怖事件、自然灾害、设备故障等。12 二、参数的最小二乘估计 (一) 方法介绍 本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）; 最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应 该使各点到直线的距离的和最小，也可表述 为距离的平方和最小。 假定根据这一原理得到的、估计值为 、 ，则直线可表示为 。13 直线上的yt值，记为 ，称为拟合值（ fitted v

6、alue）,实际值与拟合值的差，记 为 ，称为残差（residual） ，可以看作是随机误差项 的估计值。 根据OLS的基本原则，使直线与各散点的距离的平方和最小，实际上是使残差 平方和（residual sum of squares, 简记 RSS） 最小，即最小化：RSS= = （2.4） 14 根据最小化的一阶条件，将式2.4分别对、求偏导，并令其为零，即可求得结果如下 :（2.5） （2.6） 15 （二）一些基本概念 1.总体（the population）和样本（the sample） 总体是指待研究变量的所有数据集合，可以 是有限的，也可以是无限的；而样本是总体 的一个子集。 2

7、、总体回归方程（the population regression function，简记PRF），样本回 归方程（the sample regression function， 简记SRF）。16 总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关系，有时也被称为数据生成过程（ DGP），PRF中的、值是真实值，方程为：+（2. 7） 样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的变量之间的关系函数，方程为： 注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到 的是总体因变量的期望值（2.8） 17于是方程（2.7）可以写为： （2.9） 总体y值被分解为两部分：模型拟合值（ ）和残差项（ ）。18 3.线性关

8、系 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数 ，比如，y= 。 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个 线性函数，它可以不是变量x的线性函数。 比如，y= 就是一个线性回归模型， 但 则不是。 在本课程中，线性回归一词总是对指参数为线性的一种回归（即参数只以一次方出现 ），对解释变量x则可以是或不是线性的。19 有些模型看起来不是线性回归，但经过一些 基本代数变换可以转换成线性回归模型。例 如， （2.10 ） 可以进行如下变换：（2.11） 令 、 、 ，则方程（2. 11）变为： （2.12） 可以看到，模型2.12即为一线性模型。 20 4.估计量（estimator）和估计值（esti

9、mate） 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估计出来的系数的数值。21 三、最小二乘估计量的性质和分布 （一） 经典线性回归模型的基本假设 （1） ，即残差具有零均值； （2）var ,即残差具有常数方差， 且对于所有x值是有限的； （3）cov ，即残差项之间在统计意义上是相互独立的； （4）cov ，即残差项与变量x无关； （5）tN ,即残差项服从正态分布22 （二）最小二乘估计量的性质 如果满足假设(1)(4)，由最小二乘法得到的估计量 、 具有一些特性，它们是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators，简记BLUE）。23 估计量（est

10、imator）：意味着 、 是包含 着真实、值的估计量； 线性（linear）：意味着 、 与随机变量y之间是线性函数关系； 无偏（unbiased）：意味着平均而言，实际得到的 、 值与其真实值是一致的； 最优（best）：意味着在所有线性无偏估计 量里，OLS估计量 具有最小方差。 24 (三) OLS估计量的方差、标准差和其概率分布 1.OLS估计量的方差、标准差。给定假设(1)(4)，估计量的标准差计算方 程如下 :其中， 是残差的估计标准差。 （2.21） （2.22）25 参数估计量的标准差具有如下的性质： （1）样本容量T越大，参数估计值的标准差越小； （2） 和 都取决于s2。

11、 s2是残差的方差估计量。 s2越大，残差的分布就越分散，这样模型的不确定性也就越大。如果s2很大，这意味着估计直线不能很好地拟合散点；26 （3）参数估计值的方差与 成反比。 其值越小，散点越集中，这样就越难准确地估计拟合直线；相反，如果 越大，散点越分散，这样就可以容易地估计出拟合直线，并且可信度也大得多。 比较图22就可以清楚地看到这点。 27图22 直线拟合和散点集中度的关系28 （4） 项只影响截距的标准差，不影响斜率的标准差。理由是： 衡量的是散点与y轴的距离。 越大，散点离y轴越远，就越难准确地估计出拟合直线与y轴的交点（即截距）；反之，则相反。29 2OLS估计量的概率分布 给

12、定假设条件(5)，即 ，则 也服从正态分布 系数估计量也是服从正态分布的：（2.30） （2.31）30 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即假设(5)不成立，但只要CLRM的其他假设条件还成立，且样本容量足够大，则通常认为系数估计量还是服从正态分布的。 其标准正态分布为： （2.32） （2.33）31 但是，总体回归方程中的系数的真实标准差 是得不到的，只能得到样本的系数标准差（ 、 ）。用样本的标准差去替代总体标准 差会产生不确定性，并且 、 将不再服从正态分布，而 服从自由度为T-2的t分布，其中T为样本容量 即： (2.34) (2.35 )323.正态分布和t分布的关系图2-3

13、 正态分布和t分布形状比较33从图形上来看，t分布的尾比较厚，均值处的最大值小于正态分布。随着t分布自由度的增大，其对应临界值 显著减小，当自由度趋向于无穷时，t分布就服从标准正态分布了。所以正态分布可以看作是t分布的一个特例。34第二节 一元线性回归模型的统计 检验一、拟合优度(goodness of fit statistics) 检验拟合优度可用R2 表示：模型所要解释的是y相对于其均值的波动性，即 （总平方和，the total sum of squares，简记TSS），这一平方和可以分成两部分：35= + （2.36）是被模型所解释的部分，称为回归平方和（the explained

14、 sum of squares，简记ESS）；是不能被模型所解释的残差平方和（RSS）,即 =36 TSS、ESS、RSS的关系以下图来表示更加 直观一些： 图24 TSS、ESS、RSS的关系37 拟合优度 因为 TSS=ESS+RSS 所以 R2 （2.39）（2.37）（2.38） R2越大，说明回归线拟合程度越好；R2越小，说 明回归线拟合程度越差。由上可知，通过考察R2的大小，我们就能粗略地看出回归线的优劣。38 但是，R2作为拟合优度的一个衡量标准也存在一些问题：（1）如果模型被重新组合，被解释变量发生了变化，那么R2也将随之改变，因此具有不同被解释变量的模型之间是无法来比较 R2的大小的。39（2）增加了一个解释变量以后， R2只会增大而不会减小，除非增加的那个解释变量之 前的系数为零，但在通常情况下该系数是不 为零的，因此只要增加解释变量， R2就会不断的增大，这样我们就无法判断出这些解 释变量是否应该包含在模型中。（3）R2的值经常会很高，达到0.9或更高，所以我们无法判断模型之间到底孰优孰劣。40 为了解决上面第二个问题，我们通常用调整过的R2来代替未调整过的R2 。对R2进行调整主要