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1、概率统计下页结束返回.6 全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式引入 五、贝叶斯公式及其应用二、全概率公式与证明(现行教材) 四、全概率公式应用 下页三、全概率公式及其推导概率统计下页结束返回全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式问题引入引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。小结：诸如此类的概率都是比较难求的。给人的
2、感觉是，问题太 复杂，不知该从哪里下手。问题：那么，复杂的问题能否简单化呢？这就是全概率公式的意 义所在。下页概率统计下页结束返回设试验的样本空间为，设事件B1，B2，Bn为样本空 间的一个划分，且(Bi)0, i =1,2, ，n则对任意事件A，有B1B2B3Bn A 证明：因为按概率的可加性及乘法公式有故二、全概率公式与证明(附:现行教科书证明)下页三个特点： 没错; 难用; 误导.概率统计下页结束返回设试验由先后相继的两个试验1,2构成, 1的样本空间 为1，B1, B2 , Bn为1的一个划分，即B1B2 Bn= 1； 2是在发生的条件下的试验,其样本空间为2 。那么，对于 2的任一事
3、件A，有三、全概率公式及其推导推导：2的P(A),下页由条件概率公式得，从而得，这里的P(A/1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义实质上是 P(A/1) ! 关键所在! 难点所在!引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。E1: B1= 从甲袋取出2个红球， B= 从甲袋取出2个白球,B3= 从甲袋取出1个白球1个红球, E2: A=从乙袋取出2个红球.概率统计下页结束返回四、全概率公式应用 例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙
4、袋中任取2球，求从乙袋取出2个红球的概率. 解：设B1= 从甲袋取出2个红球，B= 从甲袋取出2个白球,B3= 从甲袋取出1个白球1个红球, A=从乙袋取出2个红球.显然，B1, B,B3 两两互斥, 是对从甲袋中取球试验E1样本空间的一个划分, A是从乙袋中取球试验E2的一个事件, 所以由全概率公式得下页注意两点： 解题逻辑; 1 .概率统计下页结束返回例2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解：令Bi=零件为第i台机床加工的 (i=1,2)，A=
5、取到的零件为合格品.此时，把取哪台机床生产的产品的试验认为是E1，检查质量的试验认为是E2(人为分为先后相继的两个试验来考虑)，显然，B1,B2是E1样本空间的一个划分，由全概率公式得四、全概率公式应用下页概率统计下页结束返回例3.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的 概率解：设B1乘火车来，B2乘轮船来，B3乘汽车来，B4乘飞机来，A迟到. 易见, B1B2B3B=1，由全概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145下页解题要点： 一般情况下，给出
6、主要步骤即可.四、全概率公式应用概率统计下页结束返回例4. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球第一次比赛取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛 取得3个新球的概率解：Bi=第一次比赛恰取出i个新球（i=0,1,2,3 )A=求第二次比赛取得3个新球显然B0B1B2B3为必然事件，由全概率公式得下页四、全概率公式应用概率统计下页结束返回五、贝叶斯公式及其应用引例. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，若取得的产品为次品，问该 产品是甲厂生产的概率是多少？说明
7、：本例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知 道产品品质的情况下，分析“货出谁家”的问题。分析：设B1=甲厂生产的产品， B2=乙厂生产的产品，B3=丙厂生产的产品， A=取得次品。故所求事件的概率为， P(B1/A).1. 问题引入下页概率统计下页结束返回由条件概率的定义及全概率公式知五、贝叶斯公式及其应用2. 公式推导下页其中，于是，概率统计下页结束返回解：设B1=灯泡是甲厂出产的，B2=灯泡是乙厂出产的，B3=灯泡是丙厂出产的，A=买到一个次品灯泡. 由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4，P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，
8、P(A/B3)=0.02。 由全概率公式得由贝叶斯公式得同理可得例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占 35%, 丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%.如果消费者已经 买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？下页=0.0345显然，乙厂出产 的可能性大！3. 应用举例概率统计下页结束返回例6.对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品 的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率。解:设B1=机器调整良好, B2=机器调整不好, A
9、=产品合格.由题意知 P(B1)=0.75， P(B2)=0.25 ；P(A/B1)=0.9， P(A/B2)=0.3所求概率为P(B1 /A). 由贝叶斯公式得3. 应用举例下页概率统计下页结束返回练习题：设甲袋有a个白球，b个黑球，乙袋有c个白球d个黑球现从甲 袋任取个球放入乙袋，再从乙袋任取球 , 求从乙袋取出个 个白球的概率设、三车间生产同一种产品，产量各占25、35、 40，次品率分别为5、4、6，现从中任取件产品，已知 取得的是次品，问它是、车间生产的概率分别是多少？ 玻璃杯每箱20只，假设各箱中有0, 1, 2只残次品的概率分别为 0.6, 0.3, 0.1. 一顾客欲购买一箱玻
10、璃杯，在购买时，售货员随意 取一箱，而顾客开箱随机地察看只，如果无残次品，则买下 该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率下页概率统计下页结束返回作业：25页14；15；16；17结束概率统计下页结束返回概率论与数理统计任课教师：孟宪勇下页概率统计下页结束返回(1)概率论的研究对象随机现象的统计规律性概率论与数理统计-概率论(2)随机现象是否有规律可言大量次的重复试验，呈现出某种统计规律性下页概率统计下页结束返回概率论与数理统计一、随机试验 二、随机事件.1 随机事件第一章 事件与概率三、事件间的关系与运算下页概率统计
11、下页结束返回1.1 随机事件E1 ： 口袋中有编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球，从中任取一球观察其编号。 E2 ：一个家庭有两个孩子，了解两个孩子的性别。 E3 ：一批灯泡，从中任取一只，测试它的寿命。一、 随机试验 E随机试验特点：1.在相同的条件下试验可以重复地进行 ；2.每次试验的可能结果不止一个，且能在试验之前明确试 验的所有可能结果；3.每次试验以前不能准确预言哪一个结果会出现。下页概率统计下页结束返回二、 随机事件的概念基本事件：试验的每个可能发生的基本结果,称为基本事件(或 样本点),记为。样本空间：所有基本事件组成的集合，记为，即=。随机事件：的一个子集。记为A、B、C
12、等。必然事件： ；不可能事件：。事件发生：当且仅当它包含的基本事件（样本点）之一发生。下页E2 ：一个家庭有两个孩子，了解两个孩子的性别。 2 =男,男, 女,女, 男,女, 女,男E1:口袋中有编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球，从中任取一球观 察其编号。A=编号为偶数=2,4,6； B=编号为奇数=1,3,5；C=编号大于6= ； D=编号不大于6 。概率统计下页结束返回解： E有四个基本事件：正，正,正，反,反，正,反，反于是 =正，正,正，反,反，正,反，反；A =正，正； C =正，正, 正，反,反，正。B =正，正 ， 反，反 ；例1. E：将一枚硬币抛两次，观察正面反面出现
13、的情况。写出E的样本空间以及事件A =两次都出现正面,B =两次出现同一面,C =出现正面包含的基本件事。下页概率统计下页结束返回10 子事件 三 、 事件间的关系与运算20 和事件 30 积事件40 差事件50 互斥事件60 对立事件 下页例2. 任取一件圆锥形产品， 规定只有当产品的直径、高度和 重量都合格时才算合格，否则就 算不合格产品。若令A1=产品合格，A2=产品不合格，B1=直径合格，B2=直径不合格，C1=高度合格，C2=高度不合格，D1=重量合格，D2=重量不合格，请用它们表示下面的关系。概率统计下页结束返回如： A=至少一粒发芽， B=至少20粒发芽， C=种子发芽三 、 事
14、件的关系与运算下页10 子事件 若事件A发生必然导致事件B发生，则称或A是B的子事件. 也称则称事件B包含事件A .两个事件相等：若事件A , B互为子事件，则称它们相等， 记作AB.AB在例2中有，概率统计下页结束返回可列个事件A1，A2，An，中至少有一个发生，记作A1A2An两个事件A、B中至少有一个发生的事件称为A与B的和事件，记为AB。n个事件A1，A2，An中至少有一个事件发生,记作A1 A2An 下页AB20 和事件 在例2中有，A2=B2C2D2.概率统计下页结束返回n个事件A1，A2，An同时发生的事件，记作A1A2An =A1A2An 。可列个事件A1，A2，An，同时发生
15、的事件，记作A1A2An =A1A2An性质： A ； AA。 下页30 积事件AB两个事件A、B同时发生的事件称为A与B的积事件,记为AB.在例2中有，A1=B1C1D1.概率统计下页结束返回事件A发生而事件B不发生， 称为A与B的差事件，记作 AB.性质：A-B=A-AB ；下页40 差事件ABAAB在例2中有，B1-C1表示直径合格但高度不合格.概率统计下页结束返回事件A与B不同时发生， 称A与B互斥，或互不相容.性质：（1）一次试验中基本事件是互不相容；（2）A-B，AB，B-A 两两互不相容.如果一组事件中任意两个事件都互不相容，则称这组事件两两互不相容.下页50 互斥事件BA在例2中有，概率统计下页结束返回若两事件A,B满足，AB= ，A B=，则称A与B互为对
