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1、多元函数习题课一 学习要求(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;多元函数的概念 极限及连续(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微 分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;(4) 掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的 求法;(5) 会求隐函数的偏导数;(6) 掌握高阶偏导数与高阶微分的概念,掌握二阶偏导数的计算多元函数的偏导数及全微分偏导数的应用(7) 正确理解多元函数极值的概念,极值存 在的必要条件和判断极值的充分条件;会 求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数 法求多元函数的条件极值.
2、(8) 理解二重积分的概念,了解二重积分的 性质;(9) 掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计 算方法;(10) 了解广义二重积分的概念和计算方法.多元函数积分学二、主要内容平面点集 和区域多元函数 的极限多元函数 连续的概念极 限 运 算多元连续函数 的性质多元函数概念全微分 的应用高阶偏导数隐函数 求导法则复合函数 求导法则全微分形式 的不变性偏导数在 经济上的应用多元函数的极值全微分 概念偏导数 概念1.区域（1）邻域（3）n维空间（2）区域连通的开集称为区域或开区域2.多元函数概念定义3.多元函数的极限说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的
3、极限运算法则与一元函数类似4.极限的运算5.多元函数的连续性6.闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的 有界函数在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取 得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理7.偏导数概念.高阶偏导数纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.偏导数在经济上的应用:交叉弹性即10.全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导11.全微分的应用主要方面:近似计算与误差
4、估计.12.复合函数求导法则以上公式中的导数 称为全导数全导数. .13.全微分形式不变性无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式14.隐函数的求导法则15.多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元 函数的驻点.极值点注意驻点条件极值：对自变量有附加条件的极值三、典型例题1 多元函数极限计算多元函数极限的常用方法：（1）利用不等式，使用夹挤定理；（2）利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的 极限；（3）利用各种可利用的一元函数求极限的方法；（4）利用函数的连续性；（5）若事先能看出极限，可利用极限定义证明。解解
5、例2注意：在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化. 解 （1）例3解解：解:解题提示: 在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转 化成一个一元问题加以解决,这种多元问题一元化”的思想,在解 多元问题时非常重要.思考与练习解法1分析:此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, 1. 讨论二重极限时, 下列算法是否正确?解法2 令此法忽略了 的任意性,极限有可能不存在 !分析: 1. 讨论二重极限时, 下列算法是否正确? 解法3 令此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 分析: 1. 讨论二重极限时, 下列算法是否正确? 由此知，该极限不存在。讲教材P212例题2 函数的连续性、可导、可微等解：矛盾或按定义证明由此可知，一阶偏导数不连续.练习：教材P221 T13多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导练习：教材P247 T1解:解:解:解题关键: 按定义求偏导数例9解:按定义知：强调:解例103 复合函数求导例11解方程两边求微分, 得例12. 设其中 f 与F分别具有一阶导数或偏导数, 求解： 方程两边求微分, 得化简消去 即可得例13解4 极值问题解题提示：5 二重积分对称问题测 验 题 测验题答案
