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1、o课程目的和任务：通过对一些基本声学和水声学问题的分析 和求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常 用的数值计算方法，培养综合运用声学专业知识 、数学知识和计算机技术解决科学研究中手工所 不能解算的问题，具备应用现代计算工具解决工 程实际问题的能力。前言水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收， 用以解决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学 问题。声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐 射形式。因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声 场时空结构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取 海洋中声场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、 通信及环境监测等的手段。前言o海洋环境前
2、言o波动方程：波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动特 征， 也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，为了使问题 简 化，需要对介质和声波做一些假设：（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声学性质保持不变；（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗，即忽略介质的粘滞性和热传导性；（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量都是一级小量。波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状 态方程和运动方程推导得到。 前言o波动方程：理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿 轴向传播） ：小振幅声压在三维坐标下的波动方程为 为拉普拉斯
3、算符，在直角坐标系中 前言o海洋声场的数值预报在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声场 物理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海洋环境参 数的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给出相应海洋环境 条件下的有关场值。近年来，由于计算机的快速发展，数值计算声 场是一个快速发展的领域。 海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、 抛物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同的适应 范围。前言o函数插值：已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的声速值？ 深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0声速(m/s)1
4、510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言前言o数值积分：声线轨迹计算：声线从深度 传播到深度 所经过的水平 距 离为前言问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解 前言o伪彩色图前言o三维环境下声传播前言o三维海洋环境下特征声线求解： 为声 线的位置信息，需要求解，其它参数已知。前言o三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、 非线性方程组）1. 牛顿法迭代法：泰勒级数展开式的线性部分近似2. 进化算法：遗传算
5、法、模拟退化算法、粒子群算法等前言o曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图所示，如何比 对其 与理论计算结果的误差？铝球散射声场指向性频率kHz前言o微分方程求解：随机共振系统对微弱信号的检测非线性双稳态随机共振系统利用四阶龙格库塔算法求解前言o四阶龙格库塔算法前言前言o必要性：现代科学研究和高技术的发展越来越需要借助计算机进行 数 值计算，水声领域也不例外。o讲授的主要内容：误差分析、方程组求解、非线性方程求解、插值法、最小 二 乘与曲线拟合、数值微积分、常微分方程求解。前言数值计算的对象、任务与特点o对象：数值计算方法是研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理 论的一个分支，涉
6、及代数、微积分、微分方程等的数值解问题。o任务：研究适合在计算机上使用的数值计算方法及相关理论，如方法的 收敛性、稳定性和误差分析等；还要根据计算机的特点研究如何设计 计算方法做到计算时间短、占用内存小。o学习目的：提高应用计算机解决实际问题的能力。前言o数值计算流程：o特点：既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与实 际实 验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身 研 究方法与理论体系的计算数学课程。 前言数学问题可以通过离散化、逼近转化为数值问题，在计算 机上可执行的（指计算公式中只有四则运算和逻辑运算等计算机上能 够执行的计算）求解数值问题的系列计算公式称为数值方
7、法。由于实际问题具体特性的复杂性以及算法自身的适用范围 ，决定了实际应用中必须选择、设计适合于自己所要解决的特定问题 的算法，因此掌握数值计算方法的思想和内容是必须的。手算是熟悉数值计算公式，掌握数值计算方法和计算过程 的重要一环。前言o内容提要：掌握绝对误差、相对误差、有效数字、数值计算的误差估 计以 及设计算法的原则。o重点内容：绝对误差、相对误差、有效数字的概念，数值计算的误差 估计。数值计算中的误差分析一、误差的来源与分类将一个数的准确值与其近似值之差称为误差。1. 分类过失误差：人为造成，可以避免非过失误差：无法避免，分析产生原因，限制在许可范围之内数值计算中的误差分析2. 误差来源
8、（非过失误差）o模型误差：数学模型是通过对实际问题进行抽象和简化建立的，是一 种近似描述。o观测误差：测量工具精度与测量手段的限制。o舍入误差：计算机位数的限制，由于计算机的字长是有限的，对参与 计算的数据和最后得到的计算结果，都必然用有限位小数代替 无穷位小数。数值计算中的误差分析o截断误差：由数值方法求得的数学问题的近似解与数学模型的精确 解之间的误差，是数值计算方法固有的。取部分和作近似截断误差：数值计算中的误差分析o绝对误差与绝对误差限绝对误差：设某一量的精确值为 ，其近似值为 ，则称为近似值 的绝对误差，简称误差。时称 为弱近似值或亏近似值；时称 为强近似值或盈近似值。一般情况下，无
9、法准确地知道绝对误差的大小，但根据具体测量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数 ，这个正数 叫做误差绝对值的上界或误差限。数值计算中的误差分析绝对误差限：如果存在 ，使得 ，则称 为近似值 的绝对误差限，简称误差限或精度（测量时，测量工具最小 刻度的一半）。 越小，表示近似值 的精度越高。在工程技术上 常用 表示近似值的精度或精确值的范围。绝对误差限不是唯一的，因为一个数的上界不唯一。实际应 用中，往往根据需要对准确值取近似，使用最广泛的方法是按照四舍 五入原则取近似。数值计算中的误差分析例：用毫米刻度的尺子测得桌子长度近似值为 mm ，由尺子的精度可以知道，近似值的误差不超
10、过0.5mm，即 表明精确值 在区间 内，可以写成绝对误差限 mm，即绝对误差限是末位的半个单位。数值计算中的误差分析o相对误差和相对误差限 相对误差：绝对误差与精确值之比，即实际中，由于精确值 一般无法知道，所以常取 作为近似值 的相对误差。相对误差限：若存在 ，使得 ，则称为近似值 的相对误差限。注意：绝对误差和绝对误差限与 有相同的量纲，相对误差 和相对误差限是无量纲的，工程中常以百分数来表示。数值计算中的误差分析例1.1 国际大地测量学会建议光速采用 其含义是绝对误差限为多少？而其相对误差限为多少？数值计算中的误差分析绝对误差限：近似值：相对误差限：数值计算中的误差分析o有效数字如果近
11、似值 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其“ 准 确”到这一位，且从该位开始直到 的第一位非零数字共有n位 ， 则称近似数 有n位有效数字。有效数字既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度（绝 对 误差限）。例1.2设 ，其近似值 ，问 有几位有效数字？如果 ， 有几位有效数字 ？数值计算中的误差分析o1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字位数。 o2.将22/7作为 的近似值，它有几位有效数字？绝对误差限 和相对误差限各为多少？ 数值计算中的误差分析o有效数字设 的近似值 可以写成如下的标准形式所以当其绝对误差限满足 时，称近似值 具有 位有效数字。数值计算中的误差分析o结论
12、：如果 ，有 位有效数字，则其相对误差限为反之，如果 的相对误差限满足则 至少有 位有效数字。数值计算中的误差分析o例1.3 要使 的近似值的相对误差小于 ，至少需取几位有 效数字？数值计算中的误差分析解：所以：由结论2可知：求得 ，取由结论1可知：数值计算中的误差分析o误差的传播与估计实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误差，这些误差在运算过程中会进行传播，影响计算结果。 数值计算中的误差分析o一元函数的泰勒（Taylor）中值定理： 如果函数 在区间 内有直到 阶导数，则有其中，拉格朗日型余项（ 介于 之间）。 数值计算中的误差分
13、析o泰勒（Taylor）公式估计误差的方法：以二元函数 为例，设 和 分别是 和 的近似值， 是函数值 的近似值。函数 在点 处的Taylor展开式为数值计算中的误差分析式中 一般都是小量值，如果忽略它们的高阶无穷小量，则上式简化为因此 的绝对误差为 数值计算中的误差分析系数 分别是一阶偏导数在 处 的值，称为 对 的绝对误差的增长因子，分 别表示绝对误差 经过传播后增大或缩小 的倍数。 数值计算中的误差分析的相对误差 分别是 对 的相对误 差 的增长因子，表示相对误差 经过传播 后增大或减小的倍数。 数值计算中的误差分析由此可以得到两近似数 的和、差、积、商的误差 估 计（绝对误差）为数值计算中的误差分析例1.4 经过四舍五入得到 ， ，问他们分别具有几位有效数字？ ， ， ， 的绝对误差限分别是多少？数值计算中的误差分析解：记 和 的精确值分别是 和 ，则分别具有5位有效数字 数值计算中的误差分析例1.5 测得某电阻两端的电压和流过的电流分别为 伏、 安，求电阻的阻值 ，并求 及 。 数值计算中的误差分析解：有 ，已知 伏， 安，得 欧的绝对误差：由于 ， ，所以从而 的相对误差数值计算中的误差分析例1.6 设 ， ， 都精确到2位小数，估计 的相对误差。数值计算中
