《MATLAB-ch08(数值计算—矩阵的有关运算)20100923》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB-ch08(数值计算—矩阵的有关运算)20100923（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值计算数值计算张建瓴将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始，然后介绍函数 零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合 和插值，Fourier分析和一般常微分方程初值问题。最后 讨论稀疏矩阵的处理。讨论利用MATLAB来处理常见的一些数值计算问题: 如线性分析、一元和多元函数分析、微积分、数 据分析、以及常微分方程求解等。在数学描述方面，将遵循“最低限度自封闭”的 原则处理，以最简明的方式阐述理论数学、数值 数学和MATLAB计算指令之间的内在联系及区别。说明第第8 8讲讲 数值计算数值计算 矩阵的有关运算矩阵的有关运算求解线性方程组不可避免地要用到矩阵分解 的概念，矩阵分解函数在前面已
2、有简单介绍 。首先详细介绍用于解线性方程组的几个矩阵 分解函数，然后介绍矩阵的其他一些运算问 题。8.1 矩阵分解MATLAB提供了许多矩阵分解的函数，利用这些函数可以比 较容易地进行矩阵的分解。MATLAB中，线性方程组的求解主要用到三种基本的矩阵分解 ，即对称正定矩阵的cholesky分解、一般方程的gaussian消去法 和矩阵的正交分解。这三种分解由函数chol、lu和qr完成。一、对称正定矩阵的 cholesky分解能进行cholesky分解的矩阵必须是正定的，即矩阵X的所有 对角线元素都是正的，而非对角线元素不会太大。cholesky分解也可用于复矩阵，此时复矩阵必须满足X=X ，
3、是hermitian正定的。1、适用条件及范围2、cholesky分解的含义设X是一个nn的对称正定矩阵，则存在对角线为正 的上三角矩阵R，使X=RR。 （2）R,p=chol(X) 返回两个参数，不会给出出错 信息。如果X是正定的，则P等于0，R同上；如果X是非 正定的，则P等于正整数，R是一个阶数为q=p-l的上三 角阵，使得R*R=X(1:q,1:q)。3、调用格式（1）R=chol(X) X是对称正定矩阵，R是上三角矩 阵，使RR=X。如果矩阵X是非正定的，则会给出错误 信息；cholesky分解。X=2 2 2;2 5 4;-2 4 5 输入对称正定矩阵XX=2 2 -22 5 4-
4、2 -4 5【例8-1】example8-1.mR=chol(X) 进行cholesky分解R=1.4142 1.4142 -1.41420 1.7321 -1.15470 0 1.2910R*Rans=2.0000 2.0000 -2.00002.0000 5.0000 4.0000-2.0000 -4.0000 5.0000二、lu分解1u分解是除法运算的基础。gaussian消去法或lu分解 是将任何方阵X表示为一个下三角矩阵L和一个上三角 矩阵U的乘积，即X=LU1、lu分解的含义2、lu分解的条件进行lu分解时，矩阵X必须是方阵。（1）L,U=lu(X) 将得到一个上三角矩阵并且存储
5、 在U中和一个准下三角矩阵并且存储在L中，使得X=LU 。准下三角矩阵L实际上是下三角矩阵的转置矩阵；（2）L,U,P=lu(X) 将得到一个主对角元为1的下 三角矩阵L、上三角矩阵U和一个由0和1组成的置换矩 阵P，使得PX=LU。3、调用格式（1）在MATLAB中，1u分解允许线性方程组Ax=b进行如下快速运算：x=U(Lb)（2）矩阵行列式的值和矩阵求逆也可以利用lu分解进 行如下计算：det(X)=det(L)*det(U)inv(X)=inv(U)*inv(L)4、lu分解的应用lu分解。X=3 1 2;1 2 1;-2 1 4 输入矩阵XX=3 -1 21 2 -l-2 1 4L,
6、U,P=lu(X) 进行lu分解L=1.0000 0 00.3333 1.0000 0-0.6667 0.1429 1.0000【例8-2】example8-2.mU=3.0000 -1.0000 2.00000 2.3333 -1.66670 0 5.5714P=1 0 00 1 00 0 1【例8-2】example8-2.m（续）P*Xans=3 -1 2l 2 -1-2 1 4L*Uans=3.0000 -1.0000 2.00001.0000 2.0000 -1.0000-2.0000 1.0000 4.00001、qr分解的含义三、qr分解2、适用条件及范围qr分解适用于任意矩阵，
7、是非常重要的分解形式。qr分解即矩阵的正交分解，是将矩阵X分解为一个正 交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即X=QR。（1）Q,R=qr(X) 生成一个与X同阶的上三角矩阵R 和一个正交矩阵Q，使得X=QR；（2）Q,R,E=qr(X) 将得到一个置换矩阵E、上三角矩 阵R和正交矩阵Q，使得XE=QR，选择置换矩阵E使得 abs(diag(R)递减；3、调用格式（3）Q,R=qr(X,0) 将生成一种“经济”的分解。如果 矩阵X是mn阶，并且mn，则仅计算出Q的前n列；（4）Q,R,E=qr(X,0) 生成一种“经济”的分解，其 中E是一个置换向量，使得QR=A(:,E)，选择列置换向量 使得
8、abs(diag(R)递减。qr分解X=3 -1 2 5;1 2 -1 7;-2 l 2 4 输入矩阵XX=3 -1 2 51 2 -1 7-2 1 -2 4 Q,R=qr(X) 进行qr分解Q=-0.8018 0.1543 0.5774-0.2673 -0.9567 -0.11550.5345 -0.2469 0.8083R=-3.7417 0.8018 -2.4054 -3.74170 -2.3146 1.7591 -6.91280 0 -0.3464 5.3116【例8-4】example8-4.mQ,R,E=qr(X,0)Q=-0.5270 0.6463 0.5518-0.7379 0
9、.0259 -0.6745-0.4216 -0.7626 0.4905R=-9.4868 -1.4757 -1.3703 0.52700 3.4383 -1.4607 2.84370 0 -1.4102 0.7971E=4 1 2 3【例8-4】example8-4.m（续）1、奇异值分解的含义四、奇异值分解对于任意的矩阵ACmn，存在酉矩阵(Unitary matrix)， U=u1,u2, ,um，V=v1,v2, ,vm使得：UTAV=diag(1,2,p)其中：120p1，p=minm,n上式中：i,ui,vi分别称为矩阵A的第i个奇异值、左奇异向量和右奇异向量，而它们的组合就称为奇异
10、值分解三对组。 这里的上标“T”表示共轭转置。奇异值分解的定义为：（1）U,S,V=svd(X) 产生一个与矩阵X具有相同维数 的矩阵S，其对角线元素为递减的非负值，同时得到酉 矩阵U和V，使得X=U*S*V；（2）S=svd(X,0) 得到矩阵X的奇异值组成的向量；2、svd函数的调用格式（3）U,S,V=svd(X,0) 得到一个“经济大小”的分 解结果，如果X是mn矩阵且mn，则只计算U矩阵的前n 行，且S矩阵是nn阶的。奇异值分解X=3 1 4;2 2 4;1 3 2;1 2 3 输入矩阵XX=3 1 42 2 41 -3 -21 2 3【例8-5】example8-5.mU,S,v=
11、svd(X) 进行奇异值分解U=0.5873 -0.5075 -0.5954 0.20730.5951 -0.0691 0.4057 -0.6903-0.3132 -0.8424 0.4331 0.06880.4503 0.1674 0.5417 0.6898S=8.2230 0 00 3.2221 00 0 00 0 0V=0.3757 -0.7249 0.57740.4400 0.6878 0.57740.8157 -0.0371 -0.5774U,S,V=svd(X,0) 进行奇异值分解U=0.5873 -0.5075 -0.59540.5951 -0.0691 0.4057-0.313
12、2 -0.8424 0.43310.4503 0.i674 0.5417S=8.2230 0 00 3.2221 00 0 0【例8-5】example8-5.m（续）V=0.3757 -0.7249 0.57740.4400 0.6878 0.57740.8157 -0.0371 -0.5774奇异值分解也是矩阵求秩运算的基础，对矩阵A进 行奇异值分解S=svd(A)，得到向量s的非零元素的 个数就是矩阵A的秩。如：X=3 1 4;2 2 4;1 3 2;1 2 3;s=svd(X)s=8.22303.222103、奇异值分解和求秩运算可见矩阵X的秩为2，用求秩运算 rank(X)可以验证这
13、一结果。1、schur分解的含义五、schur分解A=USUT其中：A是方阵，U是一个正交矩阵，S是一个块上三角矩阵，由对角线上的1l和22块组成。特征值由S的对角线和块给出，而U的列比一系列特征向量给出了更多的数值特性。schw分解可以对缺陷矩阵进行。schur分解的定义为：（1）T=schur(X) 仅仅返回schur形式矩阵T；（2）U,T=schur(X) 得到schur形式矩阵T和酉矩阵U ，使得X=U*T*U和U*U=eye(size(X)。2、调用格式schur分解A=l 2 1;3 4 0;1 2 3 输入方阵AA=1 2 -13 4 01 2 3 U,T=schur(A) 进行schur分解U=0.8262 -0.2294 -0.5145-0.5571 -0.4680 0.68600.0835 -0.8534 0.5145T=-0.4495 0.8575 0.3760-0.0000 4.4495 2.85010 0 4.0000【例8-8】example8-8.mUU,TT=rsf2csf(U,T) 对U和T进行转换UU=0.8262 -0.2294 -0.5145-0.5571
