6.3 用正交变换化二次型为标准型

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1、1第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 6.3 用正交变换化二次型为标准形五、用正交变换化二次型为标准形的方法四、实对称矩阵与二次型的一些性质三、正交变换二、正交矩阵一、问题的引入六、在二次曲线中的应用2第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 引例考察方程 所表示的曲线。由一、问题的引入利用拉格朗日配方法可得： 3第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (1) 令(2) 令或或引例考察方程 所表示的曲线。一、问题的引入4第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (3) 令即其中问题哪个方程描述了真正的椭圆呢？xy引例考察方程 所表示的曲线。一、问

2、题的引入5第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 二、正交矩阵定义设 A 为 n 阶实矩阵，若 A 满足则称 A 为正交矩阵。此时显然有例如设则有故 A 为正交矩阵。P176 定义 6.5 6第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 二、正交矩阵性质(1) 若 A 为正交矩阵，则 也为正交矩阵；(2) 若 A 为正交矩阵，则 或(3) 若 A, B 为正交矩阵，则 A B 也为正交矩阵；(4) 方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质 (4) 中列向量的情况)P176 定理 6.3 补充 7第六章 二次型 6.3 用正交变换化

3、二次型为标准形 将矩阵 A 按列分块则即 A 为正交阵A 的列向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质 (4) 中列向量的情况)8第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 例下列矩阵是否为正交阵？(1) A 是正交矩阵;答(2) B 不是正交矩阵。(将 B 的每一列单位化即得到正交矩阵)9第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 例 设方阵 A 为正交阵，且试证 A + I 不可逆。即 A + I 不可逆。证从而有上式两端取行列式并由 得10第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 三、正交变换若 P 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。定义 性质 设 为线性变换

4、，则下列命题等价：(1) 线性变换 为正交变换；(2) 在线性变换 下，向量的内积不变，即当 时，有(3) 线性变换 把 中的标准正交基变成标准经过正交变换后，向量 (线段) 的长度、夹角保持不变，优点曲线 (曲面) 的形状、大小保持不变。正交基。P176 定义 6.6 P176 定理6.4 11第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (1) (2)：(2) (3)： 设为 中的标准正交基，经线性变换 后得向量组从而为 中的标准正交基；即 C 为正交阵，若 为正交变换,若在线性变换 下，向量的内积不变,证明 (采用循环证明的方法完成其等价性的证明)则有12第六章 二次型 6.3 用

5、正交变换化二次型为标准形 (3) (1)：设则有由于 和 都是正交阵，若 把 中的标准正交基变成标准正交基，设为 中的标准正交基，经线性变换 后得向量组也为 中的标准正交基。则也是正交阵。因此从而 为正交变换。证明 (采用循环证明的方法完成其等价性的证明)13第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 目标求正交矩阵 P，即使得或要求(1) 矩阵 P 的列必须为 A 的特征向量；(2) 矩阵 P 的列必须为正交向量组；(3)必须是 A 的特征值。三、正交变换14第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 四、实对称矩阵与二次型的一些性质1. 实对称矩阵的性质(1) A 的特征值

6、都是实数；性质1设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；P178 定理 6.5 15第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值,又由 有故则存在 使得对上式两端取共轭转置，并利用 得其中 是 X 的共轭。从而有即得即实对称矩阵 A 的特征值都是实数。(a)(b)16第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 证明 (2) 设 是 A 的两个不同的特征值，分别是对应于 的特征向量，则因此由 有即 与 正交。17第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 四、实对称矩阵与二次型的一些性质1.

7、实对称矩阵的性质性质1(1) A 的特征值都是实数；设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；性质2设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 C，使得P178 定理 6.6 18第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (数学归纳法)证明假设性质对于 阶成立，需证对于 n 阶也成立 。对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。则 P 为正交阵，且(1) 设 A 的某特征值 对应的单位特征向量为将 扩充为 中的标准正交向量组令记为19第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 即得0 0其中(2) 对于 有证明 20第六章 二次型 6.

8、3 用正交变换化二次型为标准形 根据归纳法假设，存在 阶正交阵 使得则 Q 为正交阵，且000 00 0000 00 0令为 阶对称矩阵，(3) 由于证明 21第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 则 C 为正交阵，且0 0令00(4) 由于证明 22第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 定理对于任意一个给定的实二次型其中是矩阵 A 的特征值。正交变换使得四、实对称矩阵与二次型的一些性质1. 实对称矩阵的性质2. 主轴定理总存在P181 定理 6.7 23第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (2) 求出相应的一组线性无关的特征向量(3) 将 标准正交

9、化注得到步骤(4) 令(1) 求出二次型对应的矩阵A 的特征值作正交变换即得注 由于实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量必正交。故标准正交化只需在每个特征值所对应的特征向量之间进行。五、用正交变换化二次型为标准形的方法P181 24第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 例 设实对称矩阵求正交阵 C，使得特征值解(1) 由25第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (2) 对于令即求解得基础解系为单位化得单位特征向量26第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (3) 对于令即求解得基础解系为这两个向量已正交，只需单位化即得：27第六章 二次型 6.3

10、 用正交变换化二次型为标准形 (4) 于是可得正交矩阵使得28第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 解(1) 二次型所对应的矩阵为例 已知 求一个正交变换 X = PY ，将该二次型化为标准型。由可得 A 的特征值为(跳过?)29第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (2) 当 时， 得基础解系直接单位化得求解方程组因 已正交，30第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 得基础解系单位化得(3) 当 时， 求解方程组31第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (4) 于是可得正交矩阵则有32第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形

11、解(1) 二次型所对应的矩阵为例 已知求一个正交变换 X = PY ，将该二次型化为标准型。由可得 A 的特征值为33第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (2) 当 时， 得基础解系对其进行标准正交化得求解方程组34第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 得基础解系单位化得(3) 当 时， 求解方程组35第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 (4) 于是可得正交矩阵则有36第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 六、在二次曲线中的应用例已知某二次曲线的方程为写出其标准方程，并画出该二次曲线示意图。解记当 时， 求得单位化的特征向量当 时，

12、求得单位化的特征向量可得 A 的特征值为(1) 由P184 补 37第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 则有(2) 令即原方程 化为即38第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 xy为 轴的方向，C 的第一列，即C 的第二列，即为 轴的方向，由此即可画出(3) 如何作图？原方程所表示的二次曲线为附： 即为曲线的主轴方向；进一步可推广到高维情形。39第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 1. 实对称矩阵的性质本节小结(1) 特征值为实数；(2) 属于不同特征值的特征向量必正交；(3) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的(4) 必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵。且对角矩阵个数相等；的对角线上的元素即为其特征值；而正交矩阵的列即为其特征向量。40第六章 二次型 6.3 用正交变换化二次型为标准形 1. 实对称矩阵的性质2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤(1) 求特征值；(2) 求线性无关的特征向量；(3) 将特征向量正交化并单位化；(4) 由所求得的特征向量构成正交矩阵；由特征值构成对角阵。本节小结41第六章 二次型 6.3 用正