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1、20092009 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测专题专题 1 1 函数函数考点一：考点一：函数的性质与图象函数的性质与图象1.已知0a，函数), 0(,1)(xxaxxf。设ax201，记曲线)(xfy 在点)(,(11xfxM处的切线为l。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()求l的方程；()设l与x轴交点为)0 ,(2x。证明： ax102； 若ax11，则axx121()分析：欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(xfy 在点)(,(11xfxM的一阶导数值。解：求)(xf的导数：21)(xxf，由此得切线l的方程：)(
2、1)1(12 11xxxxaxy。()分析：要求2x的变化范围，则须找到使2x产生变化的原因，显然，2x变化的根本原因可归结为1x的变化，因此，找到2x与1x的等量关系式，就成； 欲比较2x与1x的大小关系，判断它们的差的符号即可。 证：依题意，切线方程中令y0，axaxxxaxxx20)2()1 (1111112，其中.由aaxaxxaxxxax1)1(, 0),2(,202 1221121及有axaxax11,10212时，当且仅当.axxaxxxaxax1)2(112111211，且由，因此，时，当axx121所以。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及
3、分析和解决问题的能力。考点二：二次函数考点二：二次函数2.已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x. (1)如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0xx ，求证：10x；(2)如果21x，212 xx，求b的取值范围.分析：条件4221xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解：设1) 1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x.(1)由0a及4221xx，可得 0)4(0)2(gg，即 034160124 baba，即 , 043 224, 043 233aabaa
4、b两式相加得12ab，所以，10x;(2)由aabxx4)1()(22 21， 可得 1) 1(122ba.又0121axx，所以21,xx同号. 21x，212 xx等价于 1) 1(1220221baxx 或 1) 1(1202212baxx ，即 1) 1(120)0(0)2(2bagg或 1) 1(120)0(0)2(2bagg解之得 41b或47b.点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条 件是解决问题的关键。 考点三：抽象函数考点三：抽象函数3.A是由定义在4 , 2上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：对任意2 , 1 x，都有)2 , 1
5、 ()2(x ； 存在常数) 10( LL，使得对任意的2 , 1 ,21xx，都有| )2()2(|2121xxLxx()设4 , 2,1)(3xxx，证明：Ax )()设Ax )(，如果存在)2 , 1 (0x，使得)2(00xx，那么这样的0x是唯一的;()设Ax )(，任取)2 , 1 (lx，令, 2 , 1),2(1 nxxnn证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式|1|121 xxLLxxkklk解：对任意2 , 1 x，2 , 1 ,21)2(3xxx，33)2( x35，253133，所以)2 , 1 ()2(x对任意的2 , 1 ,21xx，23232132 12
6、1211121212| )2()2(| xxxxxxxx ，33232132 1112121xxxx，所以 023232132 11121212xxxx32，令23232132 11121212xxxxL，10 L，| )2()2(|2121xxLxx所以Ax )(反证法:设存在两个0000),2 , 1 (,xxxx使得)2(00xx，)2(00xx则由|)2()2(|/ 00/ 00xxLxx，得|/ 00/ 00xxLxx，所以1L，矛盾，故结论成立。121223)2()2(xxLxxxx，所以121 1xxLxxn nn |1|1211211xxLLxxxxxxxxkkkpkpkpkp
7、kkpkLkkpkpkpkpkxxxxxx1211L123 122xxLxxLpkpk121xxLk 1211xxLLK点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不 等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。考点四：函数的综合应用考点四：函数的综合应用4.设函数22( )21(0)f xtxt xtxt R，()求( )f x的最小值( )h t；()若( )2h ttm 对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围解：()23( )()1(0)f xt xtttxt RQ，当xt 时，( )f x取最小值3()1fttt ，即3( )1h ttt ()
8、令3( )( )( 2)31g th ttmttm ，由2( )330g tt 得1t ，1t (不合题意，舍去)当t变化时( )g t，( )g t的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)( )g t0( )g t递增极大值 1 m递减( )g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm ( )2h ttm 在(0 2)，内恒成立等价于( )0g t 在(0 2)，内恒成立，即等价于10m， 所以m的取值范围为1m 点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问 题解决问题的能力 5.乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽 车每
9、小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米 时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元. 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数，并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并 求函数的最小值. 解：(读题)由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，(建模)有y(abv2)S v (解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数关系式是：yS(a vbv)，其中函数的定义域是v(0，c .整理函数有yS(a vbv)S(va b
10、 v)，由函数yxk x(k0)的单调性而得：当a bc时，则va b时，y取最小值；当a bc时，则vc时，y取最小值.综上所述，为使全程成本y最小，当a bc时，行驶速度应为va b；当a bc时，行驶速度应为vc. 点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出 函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦 忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.6.设函数54)(2xxxf.(1)在区间6, 2上画出函数)(xf的图像；(2)设集合), 64, 02,(,5)(UUBxfxA. 试判断
11、集合A和B之间的关系，并给出证明；(3)当2k时，求证：在区间5, 1上，3ykxk的图像位于函数)(xf图像的上方.解：解：(1)(2)方程5)(xf的解分别是4, 0,142 和142 ，由于)(xf在1,(和5, 2上单调递减，在2, 1和), 5上单调递增，因此 ,1424, 0142,UUA. 由于AB , 2142, 6142. (3)解法一 当5, 1x时，54)(2xxxf.)54()3()(2xxxkxg)53()4(2kxkx43620 2422 kkkx， , 2kQ124 k. 又51x， 当1241k，即62 k时，取24kx，min)(xg641041 436202
12、2 kkk.064)10(,64)10(1622kkQ，则0)(minxg. 当124 k，即6k时，取1x， min)(xg02 k.由 、可知，当2k时，0)(xg，5, 1x.因此，在区间5, 1上，)3( xky的图像位于函数)(xf图像的上方.解法二 当5, 1x时，54)(2xxxf.由 , 54),3(2xxyxky得0)53()4(2kxkx，令 0)53(4)4(2kk，解得 2k或18k， 在区间5, 1上，当2k时，)3(2xy的图像与函数)(xf的图像只交于一点)8, 1(；当18k时，)3(18xy的图像与函数)(xf的图像没有交点. 如图可知，由于直线)3( xky
13、过点)0, 3(，当2k时，直线)3( xky是由直线)3(2xy绕点)0, 3(逆时针方向旋转得到. 因此，在区间5, 1上，)3( xky的图像位于函数)(xf图像的上方. 7.设f(x)3ax0.2cbacbxb若，f(0)0，f(1)0，求证：()a0 且2ba1；()方程f(x)0 在(0，1)内有两个实根. (I)证明：因为(0)0,(1)0ff，所以0,320cabc.由条件0abc，消去b，得0ac； 由条件0abc，消去c，得0ab，20ab.故21b a .(II)抛物线2( )32f xaxbxc的顶点坐标为23(,)33bacb aa，在21b a 的两边乘以1 3，得12 333b a .又因为(0)0,(1)0,ff而22 ()0,33bacacfaa 所以方程( )0f x 在区间(0,)3b a与(,1)3b a内分别有一实根。故方程( )0f x 在(0,1)内有两个实根.8.已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。()求, a b的值；()若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；解：解：()因为( )f x是奇函数，所以(0)f0
