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1、第第1919章章 非线性电路简介非线性电路简介19.1 非线性电阻的伏安特性19.2 非线性电阻的串联、并联电路19.4 小信号分析方法19.3 非线性电阻电路的方程19.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法 牛顿拉夫逊法19.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性19.7 用友网络模型求解非线性电阻电路本章重点19.8 非线性动态电路元件19.9 二阶非线性动态电路的状态方程19.10 非线性动态电路方程的数值求解方法 本章重点 非线性电阻电路的方程 非线性电阻的伏安特性 小信号分析方法 返回目录 非线性动态电路的方程 非线性动态元件的伏安特性 非线性动态电路的数值求解19.1 非线性电阻的伏
2、安特性 一、线性电阻元件（linear resistor）二、非线性电阻元件（nonlinear resistor）+-ui电路符号 u = f ( i )i = g ( u )伏安特性（Volt-ampere characteristic） iuPuiuiR+-例1 隧道二极管 +_uiiu0给定一个电压，有一个对应的电流；而给定一个电流， 最多可有3个对应的电压值。即 i = f (u)。称为“压控型” 或 “ N型”。例2 充气二极管 +_ui例3 整流二极管 +_ui-ISui伏安特性 给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压，最多 可有3个对应的电流值。即 u = f (i)。
3、称为“流控型”或 “ S型”。b0IS 0b：与电荷、温度有关 IS：反向饱和电流 式中ui0 伏安特性 iu三、非线性电阻的静态电阻 RS 和动态电阻 Rd 静态电阻（static resistance）动态电阻（dynamic resistance） iuP0（1）静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点位置 不同时，RS 与 Rd 均变化。（2） RS反映了某一点时 u 与 i 的关系，而 Rd 反映了在 某一点 u 的变化与 i 的变化的关系，即 u 对i 的变化率。（3）对“S”型、“N”型非线性电阻，下倾段 Rd 为负， 因此 ，动态电阻具有“负电阻”性质。ui0ui0说明 含有非
4、线性电阻的电路都是非线性电路。 KCL和KVL对非线性电路都适用。 注意： 叠加定理对非线性电路是不成立的。 返回目录19.2 非线性电阻的串联、并联电路一、非线性电阻的串联在每一个i 下，图 解 法求 u，得一个交点，将一系列交点连成曲线即得 串联等效电阻的伏安特性 （仍为非线性）。u i 0i1i +-+ui2串联电路电流相等，总 电压等于各分电压之和。二、非线性电阻的并联同一电压下将电 流 相加可得并联等 效电 阻的伏安特性 。iuoi+-+ui1i2u1u2并联电路电压相等，总 电流等于各分电流之和。u= f (i) P工作点（operating point） 三、含有一个非线性电阻元
5、件电路的求解用图解法求解非线性电路（nonlinear circuit） uSPI0u1u2I0uSu1= iR1 u2= f2(i) u2u1u1=iR1，u2 = f2(i) u= f(i)u i 0+u1_+ _u2i+_uSR1R2+_u其特性为一直线。 线性 含源 电阻 网络i+-u2ab也可先用戴维南等效电路化简，再用图解法求解。 两曲线交点 Q即为 所求解答 ，u1则 可由下式求得：ai +-u2bR1 +US -+u1uiUSu2=f(i)0返回目录建电路方程元件性能 非线性 电路的连接 KCL，KVL 例1 已知i1 = u1 , i2 =u25, i3 =u33 ，求 u
6、。 i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0 u-2+(u-1)5+(u-4) 3=0 u 19.3 非线性电阻电路的方程 非线性电阻是压控电阻， 列KCL非线性代数方程 + _2V+ _1V+ _4VR1R2R3+ _u1+ _u2+ _u3i1i2i3u例2 G1和G2为线性电导，非线性电阻为压控电阻。列 节点方程。解 +-则节点方程为 +-i3=il2 u3=u 例3 已知 u3 =20 i31/3, 求节点电压 u 。 +-R1u1i1R2u2-i2i3il1il2u非线性电阻为流控型电阻， 则列 KVL方程。 也可以先将线性部分做戴维南等效 其中 U0= US R2 /(R1+
7、R2) , R=R1R2 /(R1+R2) 由此得 U0 =R i3 +20 i31/3 i3u3=u R1R2R3US+ _u3i3RR3 U0+ _u3i3u3 =20 i31/3 返回目录已知图中Us为直流电源，us(t) 为交流小信号电源，Rs为线性电阻，任 何时刻US | uS(t) |。非线性电 阻的伏安特性为 i = g(u)。求 u(t) 和 i(t)。19.4 小信号分析（small-signal analysis）方法 由KVL 得方程 -+ +iuRSuS(t)Us-分析： 第一步：不考虑 uS(t) ，即 uS(t)=0，US作用。P点称为静态工作点，表示电路没有小信号
8、时的工作情况。 I0，U0 同时满足i=g(u) US= RSi+ uI0=g(U0) US= RS I0 + U0 即 用图解法求 u(t) 和 i(t)。 iui=g(u)I0U0USUS/RSPORSRUS+ _ui第二步： US 0 ， uS(t) 0 | uS(t) | - I0 时 有唯一解 当 IS C 0 u = f (i) 伏安特性 严格渐增 非线性电阻电路有唯一解的一个定理（1）电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的，且 每个电阻的电压 u 时，电流分别趋于 。（2）电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅由独 立电流源构成的割集。u1u2i1i2ui0返回目录19.6
9、非线性电阻电路方程的数值求解方法牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Algorithm） 一、具有一个未知量的非线性代数方程求解 0xf(x)设方程 f(x) = 0 解为x*，则f(x *) = 0 。x*为 f(x) 与 x 轴交点。基本思路：线性化。 具体做法：有指导的猜试、迭代。 设 x0f(x0) = 0x0 就是解 设 x1 f(x1) = 0 x1 就是解 f(xk) 停止 实际处理: xk xk-1 xk 就是解。 利用牛顿-拉夫逊法求x* 步骤如下。 （1） 选取一个合理值x0，称为迭代初值。此时x0 一 般与 x* 不等。（2） 迭代 。 取x1 =x0+x0 作
10、为第一次修正值，x0 充分小。将 f ( x0+x0 ) 在 x0 附近展开成台劳级数：（3）若 xk+1 xk 则 xk+1 就是方程的解 x* 。 迭代公式 几何解释：将 f(x) 在 x0 处线性化。取线性部分，并令 xk+1 - xk k=k+1k=0x0No Yes x* =xk+1 程序流程 0xf(x) 叠代过程的几何解释： 收敛性：与函数本身有关，与初值有关。 切线 解：列节点方程例 +IS1UnI3U3R2取 ，迭代结果如下表。k012340-20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001经四次迭代后，得注意
11、：初估值选择不好会产生振荡 （迭代不收敛）。二、具有多个未知量的非线性方程组的求解设 n 个未知量一般表示为 设第 k 次迭代时 若 ，则 即为所求的一组解答。下面分析每次修正值xj ( j=1，2，n)的计算 对 先选一组初估值 进 行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。若 ，则进行修正，寻找 将 在 xik 附近展成台劳级数，取线性部分，并令其 等于零， 得简记为：J 称为雅可比矩阵 得方程组的解 X k +1 写成矩阵形式为：返回目录19.7 用友网络模型求解非线性电阻电路 基本思想：找出由k次迭代值求第k+1次迭代值的线性化模型。i = f ( u ) 令 uk， uk+1 分别为
12、第 k 次和第 k+1 次的电压初值，其 对应的电流分别为+ui与牛顿法的区别：牛顿法：对非线性方程不断线性化。友网络：对非线性电阻伏安特性不断线性化。把 在 处展开成台劳级数，取线性部分，即将非线性电阻在 处线性化， 式中 为非线性电阻在 点处的动态电导。 得 得 将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型 代替，就可得到和原电路对应的“友网络模型”。逐次 迭代计算，即可得到所要求的解。非线性电阻在第 k+1 次迭代时的“线性 化 ”模型。 +-在进行第 k+1 次迭代时， 是已知的。上述关系可用如下等效电路来描述： 解 画出友网络模型。+-unk +1例 +-IS1UnI3U3R2列节点
13、方程（ k+1次迭代时）：将上述关系代入 前 式，得 已知 u2i22几何解释 ui0u0i00u1i11P切线 小结 （1） 友网络是非线性电阻电路第k+1次迭代计算时的线 性化模型，是线性电路。（2）友网络模型和非线性电阻电路具有相同的拓扑结构，每次迭代时拓扑结构不变，仅需改变非线性电阻线性化参数值。返回目录19.8 非线性动态电路元件一、非线性电容: q与u 的关系不成正比a. 压控电容 q = f ( u ) q可以用u的单值函数表示，b. 荷控电容 u = h(q ) u可以用q的单值函数表示，c. 单调型ui+-q1. 分类 2. 非线性电容的静态电容CS 和动态电容Cduq uq库伏特性p静态电容动态电容3. 压控电容 q = f (u) 的u、i 关系 Cd 为动态电容，是电压u的函数 4. 非线性电容的储能0quQ 5. 非线性电容示例LRCU0+ _uS非线性电容特性改变工作点U0即可改变Cd以达到谐振。二、非线性电感: 与i 的关系不成正比a. 流控电感 = h(i ) 可以用i 的单值函数表示，b. 链控电感 i =f( ) i可以用的单值函数表示，c. 单调型ui+-1. 分类 2. 非线性电容的静态电容CS 和动态电容Cdi i链流特性p静态电感动态电感3
