网络的图网络矩阵及网络方程

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1、第13章 网络图 网络矩阵与网络方程本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图 论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电 路方程表达成矩阵形式。主要内容有：图、子图、连 通图、树、基本回路和基本割集等概念；图的矩阵表 示、基尔霍夫定律的矩阵表示；借助矩阵运算将电路 方程表达成矩阵形式；借助专用树列写电路的状态方 程。本章目次13.2 基本回路和基本割集13.1 网络的图 树13.3 关联矩阵及基尔霍夫 定律方程的关联矩阵形式13.4 基本回路矩阵及基尔 霍夫定律方程的基本回路 矩阵形式13.5 基本割集矩阵及基尔霍夫 定律方程的基本割集矩阵形式13.6 广义支路及其方程的矩阵 形式13.

2、7 用矩阵运算建立节点电压 方程13.8 用矩阵运算建立回路电流 方程和割集电压方程引言13.0引 言1. 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条名叫 Pregel 的河流经哥尼斯 堡(现加里宁格勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地 (A,B,C,D)，陆地间有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍 七桥而每桥只走一次？哥尼斯堡市区图图论趣话七桥问题的解决欧拉规则(a)连接奇数个桥的陆地只有一 个或超过两个以上时，不能实 现一笔画。(b) 连接奇数个桥的陆地仅有 两个时，则从两者中任一陆地 出发，可以实现一笔画而停在 另一陆地。(c) 每块陆地都连接有偶数个 桥时，则从任一陆地出发都能 实现一笔画，而回到出

3、发点。ABCD用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图 。问题变成该图能否实现一笔画？2. 平面图与非平面图国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块之间都 要有边界。儿子又提出在自己分到的领土上都要修一个王 宫，并且各王宫之间都要有路直接相通而不能交叉。能否 解决？用点表示王宫，用线表示王 宫间的道路，便抽象成图。 问题变成该图是否为平面图 ？3. 四色定理四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个相 邻的国家的颜色不同。图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只 须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。1890年P.J. Heawood 提出用五种颜色着色。19

4、69年O.Ore 在40个国家的地图上证明了四色定理。1976年，K.Appel, W.Hahen, J.Koch 用计算机工作1200小时 宣布证明了四色定理。4. 图论的主要应用(1)电网络的分析与综合。(2)印刷电路与集成电路的布线和测试。(3)通讯网络。(4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。(5)在化学领域的应用(同分异构体)。(6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。(7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关系) 。(8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。图(graph) :由“点” 和“线”组成。 “点”也称为节点或顶点(vert

5、ex)，“线”也称为支路或边 (edge)。 图通常用符号G来表示。 1. 网络的图 图 (a) 电路只含二端元件，对应的图如图 (b)所示。电桥电路及其图 基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树等概念。 连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为 连通图 ；否则称为非连通图。 子图： 图的一部分称为子图。一个孤立的节点也是一个子图。 两个子图含互感电路及其图 123456有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反 之为无向图。 回 路： 从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只 许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。 割 集： 连通图的割集是一组

6、支路集合，并且满足：(1)如 果移去包含在此集合中的全部支路(保留支路的两个端点)， 则此图变成两个分离的部分。(2)如果留下该集合中的任一 支路，则剩下的图仍是连通的。(a)(b)为割集，(c)(d)为非割集 割集与非割集示例 树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的 连通子图。属于树的支路称为树支，其余支路称为连支。 2. 树 分别表示支路数、树支数和连数左图的部分树 电桥电路及其图 1. 基本回路 基本回路：每一个连支和必要的树支都构成一个单连支回路， 称为基本回路。基本回路的方向规定为所含连支的方向。 基本回路的性质：(a) (b) (c) 图中3个基本回路 的KVL

7、方程为独立图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用 虚线表示。 基本要求：掌握基本回路和基本割集的定义；理解基本回路 KVL的独立性和基本割集KCL的独立性、树支电压的独立性和连 支电流的独立性。再增加一个由支路1、4、5、构成的回路推广到一般情况：对对基本回路列写的基尔霍夫电压电压 定律方程 是一组组独立方程，因此称基本回路是一组组独立回路。 (a) (b) (c) 不再独立连支电压可以用树支电压的线性组合来求得(a) (b) (c) 例如由式(a)-(c)求 得各连支电压为 结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。123456由（a）与(b)相减得到2. 基本割集 基尔霍夫电

8、流定律可用于割集：割集电流代数和为零。单树支割集基本割集：每取一个树支作一个单树支割集，称为基本割集。基本割集的方向规定为所含树支的方向。 基本割集的性质(a) (b) (c) 图中3个基本割集KCL方程是（独立）由1、2、4构成的割集（由(b)-(a)得到）不再独立任一树支电流都可通过KCL表达成连支电流的线性组合。任一连支电流不能仅通过KCL表达成其它连支电流的线性组 合，因为仅由连支不能形成割集。结论：在全部支路电电流中，连连支电电流是一组组独立变变量。(a) (b) (c) (a) (b) (c) 推广为一般情况：基本割集的基尔霍夫电电流定律方程是一组组 独立方程因此称基本割集是一组组

9、独立割集。基本割集数等于树树支数在上图所示网络的图。(1)选择一组独立的支路电压，并用以 表达其它支路电压；(2)选择一组独立的支路电流，并用以表 达其它支路电流。选择一树:1,2,3,4，树支电压是一组独立的支路电压，连 支电流是一组独立的支路电流。 123456(1)对基本回路列写KVL，可以求得连支电压： (2)对基本割集列写KCL 可以求得树支电流： 例题13.1 1.关联矩阵 对于n个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点 号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为 节点支路关联阵 基本要求：熟练掌握关联矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定 律。 除去节点对 应的第4行的任

10、意一行都可由其他n-1行来确定，它只有n-1个独 立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减的矩阵，简称关 联矩阵，记为A 。支路：1 2 3 4 5 6节点节点节点节点例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩A为2. 基尔霍夫定律的关联矩阵形式 对上图的节点、列KCL方程并写成矩阵形式为此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A。推广到一般情况：将b个支路电流写成支路电流向量，则基 尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为 AI0(1) KCL的关联矩阵形式(1) KVL的关联矩阵形式此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵A 的转置。选下图的节点为参考点，用节点电压之差表示支路电压， 并写成矩阵形式推广到

11、一般情况：设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作则节点电压与支路电压的关系即KVL表示基本回路与支路的关联关系。定义B 的行对应基本回路列对应支路，B的元素定义为 基本要求：掌握基本回路矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定 律。1.基本回路矩阵B与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为 例：如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺 序与连支相同，则在矩阵 B 的右边存在单位矩阵。支路：1 2 3 4 5 6 回路4回路5回路6推广到一般情况：设U 表示支路电压向量，基氏电压定律的 基本回路矩阵形式为 2. 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式对左图所示基本回

12、路列写KVL方程， 并写成矩阵形式 其系数矩阵是 上图的基本回 路矩阵(1) KVL的基本回路矩阵形式如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方 程可写成用树支电压表示连支电压对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵形式 (a) (b)系数矩阵是基 本回路矩阵B 的转置。式(b) 就是基尔霍夫 电流定律的基 本回路矩阵形 式。(2) KCL的基本回路矩阵形式推广到一般情况: 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程 可写成用连支电流表示树支电流基本要求：理解基本割集矩阵的定义，并用以表达基尔霍夫定 律。矩阵的行对应基本割集

13、，列对应支路，其元素为1. 基本割集矩阵C如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺 序与连支相同，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵。支路：1 2 3 4 5 6 割集1割集2割集3与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为2. 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 对左图所示的基本割集列写基尔霍夫 电流定律方程并写成矩阵形式为上述方程的系数矩阵刚好是上图的基本割集矩阵。(1) KCL的基本割集矩阵形式推广到一般情况：设I表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定 律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成用连支电流表示树支电流对左图所示的基本回路列电压方

14、程，并 写成矩阵形式得再扩展到全部支路电压(2) KVL的基本回路矩阵形式推广到一般情况：设树支电压向量为，则基尔霍夫电压定 律的基本割集矩阵形式是 如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方 程可写成用树支电压表示连支电压由连支电流求得树支电流为 由欧姆定律求得树支电压最后求出连支电压求连支电压。某网络图的连支电流 树支电阻基本割集矩阵特勒根定理 设设两个集中参数电电路 的有向图图相同，其支路电压电压 向量分别为别为 及 支路电电流向量分别为别为 及 ，则则有 证明：将电路 的KVL关联矩阵形式， 转置，得 两边同时右乘电路 N 的支路电流向量I，并引用 ，得 再将电路N的

15、KCL的关联矩阵形式，即 代入上式，得 同理可证 3.网络矩阵之间关系 (1)关联矩阵与基本回路矩阵关系 对同一图的关联矩阵A和对应任一树的基本回路矩阵B有连支电流是一组独立变量可随意给定，因此可得或(2)基本回路矩阵与基本割集矩阵关系 在图中任取一树，写出基本回路矩阵B和基本割集矩阵C，有因对任意树支电压均成立,由此得或将上式展开得常用关系 上式表明由基本回路矩阵B可求基本割集矩阵C，反之亦然如果对支路、基本回路和基本割集的编号使得矩阵B和矩阵C中均出 现单位子矩阵，则上式可进一步写成分块矩阵的形式 第k条广义支路的方程可以表示成 (k=1,b)b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s) 基本要求：掌握广义支路的定义及其方程的矩阵形式、定义广义 支路的目的。简写为 若矩阵Z存在逆矩阵 ，令 ，并乘 两 端，得 其中U 、I为支路电压向量与支路电流向量 为支路源电压与支路源电流量为支路阻抗矩阵与支路导纳矩阵含有互感元件互感支路 其支路方程的矩阵形式为 与其它支路方程合在一起并写成矩 阵形式得 以图(a)为例，含VCCS支 路的支路方程为 故支路导纳矩阵为 令 (称节点导纳矩阵)节点电压方程简化为AI0移项后得 节点电压方程基本要求：掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节 点电压方程