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1、【课标要求】2.3.1 离散型随机变量的均值2.3 离散型随机变变量的均值值与方差理解离散型随机变变量的均值值的意义义，会根据离散型随机变变量的分布列求出均值值掌握离散型随机变变量的均值值的性质质，掌握两点分布、二项项分布的均值值会利用离散型随机变变量的均值值反映离散型随机变变量的取值值水平，解决一些相关的实际问题实际问题 123离散型随机变变量均值值的概念与计计算方法(重点)离散型随机变变量均值值的性质质及应应用(重点、难难点)两点分布与二项项分布的均值值(易混点)【核心扫扫描】123离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：自学导引1Xx1x2xixnPp1p
2、2pipn则则称E(X) _为为随机变变量X的均值值或数学期望(2)意义义：它反映了离散型随机变变量取值值的_x1p1x2p2xipixnpn平均水平(3)性质质：如果X为为(离散型)随机变变量，则则YaXb(其中a，b为为常数)也是随机变变量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1，2，3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.想一想：随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示 (1)随机变变量的均值值是常数，而样样本的均值值，随样样本的不同而变变化(2)对对于简单简单 随机样样本，随着样样本容量的增加，样样本平均值值越来越接近于总总体均值值两点分布与二项项分布的均值值2XX服从两点分布
3、XB(n，p)E(X)_(p为为成功概率)_pnp试试一试试：若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球吗？提示 某人投篮篮的命中率为为0.8，是通过过大量重复的试验试验来推断出来的一个均值值由于每次试验试验 是相互独立的，投一次可能成功，也可能失败败也就是说说投篮篮10次可能一个球也没进进，也可能进进了几个球，但并不一定会是8个，只是从平均意义义上讲讲10次投篮进篮进 8个球对离散型随机变量的均值的理解(1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标(2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位(3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，因此
4、它不具有随机性，可以作为随机变量的均值或平均数名师点睛1对公式E(aXb)aE(X)b的理解(1)当a0时，E(b)b，即常数的均值就是这个常数本身(2)当a1时，E(Xb)E(X)b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和(3)当b0时，E(aX)aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积2题题型一 利用定义义求离散型随机变变量的数学期望袋中有4只红红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设设取到一只红红球得2分，取得一只黑球得1分，试试求得分X的数学期望思路探索 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可【例1】X5678P规规律方法 求
5、数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计算在10件产产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品从这这10件产产品中任取3件，求取出的3件产产品中一等品件数X的分布列和数学期望【变变式1】X0123P某运动员动员 投篮篮命中率为为p0.6.(1)求投篮篮1次时时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时篮时 ，命中次数Y的数学期望思路探索 (1)投篮1次命中次数X服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X服从二项分布，代入公式E(X)np可得解 (1)投
6、篮篮1次，命中次数X的分布列如下表：题题型二 两点分布与二项项分布的数学期望【例2】X01P0.40.6则则E(X)p0.6.(2)由题题意，重复5次投篮篮，命中的次数Y服从二项项分布，即YB(5，0.6)则则E(Y)np50.63.规规律方法 此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值某电视电视 台开展有奖奖答题题活动动，每次要求答30个选选择题择题 ，每个选择题选择题 有4个选项选项 ，其中有且只有一个正确答案，每一题选对题选对 得5分，选错选错 或不选选得0分，满满分150分，规规定满满100分拿三等奖奖，满满120分
7、拿二等奖奖，满满140分拿一等奖奖，有一选选手选对选对 任意一题题的概率是0.8，则该选则该选 手有望能拿到几等奖奖？解 选对题选对题 的个数XB(30，0.8)，故E(X)300.824，由于245120(分)，所以该选该选 手有望能拿到二等奖奖【变变式2】某突发发事件在不采取任何预预防措施的情况下发发生的概率为为0.3，一旦发发生将造成400万元的损损失现现有甲、乙两种相互独立的预预防措施可供采用单单独采用甲、乙预预防措施所需的费费用分别为别为 45万元和30万元，采用相应预应预防措施后此突发发事件不发发生的概率分别为别为 0.9和0.85.若预预防方案允许许甲、乙两种预预防措施单单独采取
8、、联联合采取或不采取，请请确定预预防方案使总费总费 用最少(总费总费 用采取预预防措施的费费用发发生突发发事件损损失的期望值值)题题型三 数学期望的实际应实际应 用【例3】规规范解答 不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E14000.3120(万元)； (2分)若单单独采取预预防措施甲，则预则预 防措施费费用为为45万元，发发生突发发事件的概率为为10.90.1，损损失期望值为值为 E24000.140(万元)，所以总费总费 用为为454085(万元)； (5分)若单单独采取预预防措施乙，则预则预 防措施费费用为为30万元，发发生突发发事件的概率为为10.850.15，损损失期望值为值为 E
9、34000.1560(万元)，所以总费总费 用为为306090(万元)； (8分)若联联合采取甲、乙两种预预防措施，则预则预 防措施费费用为为453075(万元)，发发生突发发事件的概率为为(10.9)(10.85)0.015，损损失期望值为值为 E44000.0156(万元)，所以总费总费 用为为75681(万元) (11分)综综合、，比较较其总费总费 用可知，选择联选择联 合采取甲、乙两种预预防措施，可使总费总费 用最少 (12分)【题题后反思】 均值反映了随机变量取值的平均水平我们对实际问题进行决策时，当平均水平比较重要时，决策的依据首先就是随机变量均值的大小据统计统计 ，一年中一个家庭
10、万元以上的财产财产 被盗的概率为为0.01.保险险公司开办办一年期万元以上家庭财产财产 保险险，参加者需交保险费险费 100元，若在一年以内，万元以上财产财产 被盗，保险险公司赔偿赔偿 a元(a100)问问a如何确定，可使保险险公司期望获获利？解 设设X表示保险险公司在参加保险险人身上的收益，则则X的取值为值为 X100和X100a，则则P(X100)0.99.P(X100a)0.01，所以E(X)0.991000.01(100a)1000.01a0，所以a10 000.又a100，所以100a10 000.即当a在100和10 000之间间取值时值时 保险险公司可望获获利【变变式3】化归归与
11、转转化思想是高中数学的重要思想，对对于这这种思想我们们从两个角度来理解：(1)将复杂问题杂问题 化归为简单问题归为简单问题 ，将较难问题较难问题 化归为较归为较易问题问题 ，将未解决的问题问题 化归为归为 已解决的问题问题 ；(2)灵活性、多样样性，无统统一模式，利用动态动态 思维维，去寻寻找有利于问题问题 解决的变换变换 途径与方法对对于本节节，化归转归转 化思想尤为为重要，我们们也可通过过化归归转转化将实际问题实际问题 的解决转转化为为数学期望模型，用数学期望去分析和解决实际问题实际问题 方法技巧 化归归与转转化思想在解题题中的应应用三家公司为为王明提供了面试试机会，按面试试的时间时间顺顺
12、序，三家公司分别记为别记为 甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一般三种职职位，每家公司将根据面试试情况决定给给予求职职者何种职职位或拒绝绝提供职职位若规规定双方在面试试以后要立即决定提供、接受、拒绝绝某种职职位，且不允许许毁约约，已知王明获获得极好、好、一般职职位的可能性分别为别为 0.2，0.3，0.4，三家公司工资资数据如下：【示例】公司职职位极好好一般甲3 5003 0002 200乙3 9002 9502 500丙4 0003 0002 500王明如果把工资资数尽量提高作为为首要条件，那么他在甲、乙、丙公司面试时试时 ，对该对该 公司提供的各种职职位应应如何决策？思路分析 根据提供的
13、数据计算三家公司的均值，因为面试有时间先后顺序，所以在解决问题时应先考虑公司丙解 由于面试试有时间时间 先后，所以在甲、乙公司面试试做选择时选择时，还还要考虑虑到后面丙公司的情况，所以应应从丙公司开始讨论讨论丙公司的工资资均值为值为 4 0000.23 0000.32 5000.400.12 700(元)，现现在考虑虑乙公司，因为为乙公司的一般职职位工资资只有2 500元，低于丙公司的均值值，所以只接受乙公司极好或好的职职位，否则则就到丙公司如此决策时时他的工资资均值为值为 3 9000.22 9500.32 7000.53 015(元)，最后考虑虑甲公司，由于甲公司只有极好职职位的工资资超过过3 015元，所以他只接受甲公司极好职职位，否则则就到乙公司所以总总的决策为为：先去甲公司应应聘，若甲公司提供极好职职位就接受，否则则去乙公司应应聘；若乙公司提供极好或好的职职位就接受，否则则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职职位工资资均值为值为 3 5000.23 0150.83 112(元)方法点评评 由于三家公司提供了三种不同工资的职位，获得不同职位的可能性也不相同，所以我们考虑到用工资的均值来决策这类问题将实际的应用题通过建立“数学期望”模型得以解决
