应力和应变分析(统一过程10)

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1、第七章 应力和应变分析 强度理论1低碳钢拉伸塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸7.1 应力状态概述一、问题的提出2脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？低碳钢铸 铁钻头的变形扭转+压缩如果是否强度没问题了？ 3材料力学中的“点”是物理点,不是 几何点,有大小和形状，通常用正六面 体表示，称为单元体。通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不同。 应力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方位的函 数。通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该点 的应力状态。二、一点的应力状态单元体很小，可以认为:(1)各个面上的应力均匀分布；(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。4三、应力状态

2、的研究方法拉压单元体的截取:以应力已知的截面为坐标平面取正六面体dx扭转dx截取单元体 从应力已知的截面出发求其它任意截面的应力。取圆轴顶部一点取圆内任一点52018/7/11FlaS空间曲拐ABCBC段弯曲变形，AB段弯曲+扭转变形63yxzMzFST432114FlaSS平面yzx7单元体上切应力为零的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用 表示，并且该单元体称为主应力单元。应力单元通过调整方位，总可以得到单元体三个互相 垂直面都无切应力。8三向（空间）应力状态： 三个主应力均不为零。二向（平面）应力状态： 一个主应力为零。单向应力状态： 两个主应力为零。四、应力状态分类单向应力

3、状态属于简单应力状态， 两向、三向应力状态属于复杂应力状态。9切应力和正应力均为 零的平面是主平面吗？?问题:10ppp xl已知圆柱锅炉轴向应力：t xp ODz ABy写出：横截面的(轴向应力)纵截面 上的(周向应力) 正应力表达式 7.2 二向和三向应力状态的实例分析壁上一点的应力状态11周向应力yp t t DqdqzO有内压的薄壁圆筒壁上一点所处的应 力状态为两向拉应力状态12作S平面上各点的应力单元Fl/2l/2S平面54 3 211354 3 215 4321123S平面2、3二向应力状态？1为单向应力状态14xya1.斜截面上的应力dAn nt t7.3 二向应力状态分析解析法

4、15列平衡方程列平衡方程dAn nt t16利用三角函数公式并注意到 化简得17xya2.2.正负号规定正负号规定: :正应力正应力：拉为正；反之为负：拉为正；反之为负切应力：切应力：使微元顺时针方向转动 为正；反之为负。角：由x 轴正向逆时针转到斜 截面外法线时为正；反之为负。ntx18确定正应力极值设0 时，上式值为零，即3. 正应力极值和方向当0 时，正应力的极值平面上切应力为零，即是主平面 ，其上正应力为主应力。比较两式19由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正 应力和最小正应力所在平面。将方位角0代入斜截面正应力计算公式，得 最大和最小正应力（主应力）分别为：主应力按代数值

5、排序：1 2 320最大和最小正应力(主应力)与的对应关系:确定出的两个相互垂直平面 和与 成与 成21试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题7-1 一点处的平面应力状态如图所示。 已知22解 ：（1） 斜面上的应力（正应力）已知23（1） 斜面上的应力（切应力）已知24（2）主应力、主平面已知25主平面的方位：主应力 方向：主应力与主平面的对应:主应力 方向：已知26（3）主应力单元体：27确定切应力极值设1 时，上式值为零，即4. 切应力极值和方向28需要指出：该处切应力是特指平面应力状态下，与零应力 面垂直的的各斜面上的切应力的最大（小）值，它不一定

6、 是该点的最大（小）应力值。29单向应力状态1.本身就是主平面位置，一 个主应力不为零。2.其45方向是最大切应力所在平面。 两个特殊的应力状态注意：最大切应力所在平 面，正应力一般不为零。30纯剪切（扭转）1.应力单元就是最大切应力所在平面。2.其45方向是主应力所在的主平面方位。 纯剪切:两向应力状态317.4 二向应力状态分析图解法将两式平方后相加，得：这是个以 和 为变量的圆方程，这个圆称为应力圆 。32RC1、应力圆：圆心？半径？332、应力圆的画法A(x ,txy) D(y ,tyx)CR ADx xy y画法：343、几种对应关系A(x ,txy)D(y ,tyx)cx xy y

7、Hn nH点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；向上的正应力和切应力；转向对应转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍 。354、应力极值A(x ,txy)tCO D(y ,tyx)20123从应力圆可以明显看到，最大切应力所在截面的正应 力一般不为零。36例题7-2 单元体上应力如图，求:主应力，画出主单元体。80单位：MPa8030OA (-80, 30)BCD1、作应力圆2 、算

8、出心标 OC = -40，半径3、算出主应力、切应力极值3780单位：MPa8030OA (-80, 30)BCD4、算主应力出方位角38例题7-3 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位MPa)解：2.AB的垂直平分线与轴的交点 C 即是圆心，以 C 为圆心，以 AC为半径画圆 应力圆1.在坐标系内画出点3BACt(MPa)(MPa)O20MPa393.按图计算心标和半径OC = (A 横坐标 + B 横坐标)/2= 704532532595150 102AB4.计算主应力及方位角312BACt(MPa)(MPa)O20MPaEDF5.在图上画主单元体、主应力312BACt(MPa)(M

9、Pa)O20MPa407.5 三向应力状态xyz213空间应力状态(主应力形式)用应力圆法分析41三向应力分析（1）弹性理论证明，图 a 单元体任意一个截面上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点。（2）整个单元体内的最大切应力为:1xyz 图a23图btmax42例题7-4 试确定左图所示应力状 态的主应力和最大切应力，并确定 主平面位置。解： 1)给定应力状态中有一个主 应力是已知的，即 sz=90MPa。 因此，可将该应力状态沿z方向投 影-平面应力状态 2)sx=300MPa，sy=140MPa，txy= -150MPa3)根据s1、s2、s3的排列顺序s1=390MPa，s

10、2=90MPa，s3=50MPa xy9030015014043yxxy90300150140A140150300A视s2y31o31os1xs34)主应力方位： 445)单元体内的最大切应力： 457.87.8 广义广义胡胡克定律克定律单拉时xyzx复杂应力状态下的单元体的变形461.1.三向应力状态的广义胡克定律叠加法三向应力状态的广义胡克定律叠加法=+47主单元体形式132复杂状态下的应力应变关系依叠加原理,得48xyzzytxyx对一般状态的应力单元，因 切应力与线应变无关,所以：49对常见的平面应力状态，其应力-应变关系：用应变表示应力三个弹性常数之间的关系三个弹性常数之间的关系50

11、Fp解:在柱体横截面上的压应力为 ：例题7-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座， 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到 F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。 取E=200GPa， =0.30。514 )柱内各点的三个主应力为： 3)由广义胡克定律： 2)在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后,柱体 内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均 为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为： F/App522. 体积变化与应力间的关系体积应变：变形前：132dxdzdy变形后：53 7.9 复杂应力状态的

12、应变能密度23 13 -m 1-m2-mmmm按迭加原理体积改变能密度畸变能密度代替主应力54形状不变, 体积变化, 是体积改变能密度vV23 13 -m 1-m2-mmmm畸变能密度vd 55畸变能密度vd 56（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）回顾: 杆件基本变形下的强度条件7.10 强度理论概述57那么满足是否强度就没有问题了？58强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、 概括，提出的, 经实践检验，在一定范围与实际相符合的关于破坏原因的假说.是为建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。59构件由于强度不足将引发两

13、种失效形式一、脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂。如铸 铁受 拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论二、塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形。 例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论601、最大拉应力理论（第一强度理论）无论什么应力状态，材料发生断裂是最大拉应力达到与材料有关的某一极限值。构件危险点的最大拉应力。最大拉应力的极限，与应力状态无关，因此可由单拉实验确定。7.11 四种常用强度理论61断裂准则：强度条件：铸铁拉伸铸铁扭转铸铁拉伸、扭转都 是沿拉应力最大的的 截面断裂的，与最大 拉应力理论

14、相符，但 这一理论没有考虑其 它两个应力的影响， 且对单向或三向压应 力状态也无法使用。 62构件危险点的最大伸长线应变。极限伸长线应变，与应力状态无关，可由单向拉伸实验确定。无论材料处于什么应力状态, 最大拉伸线变形 达到与材料有关的某一极限值，材料即发生脆性断裂。2、最大伸长拉应变理论（第二强度理论）63实验表明：此理论与铸铁在一拉一压的二向应力状态，且压力较大时的试验结果接近。强度条件：断裂条件：该理论也能解释石料、混凝土等材料受轴向压缩时，试件沿垂直于压力的方向裂开。裂开的方向就是 方向。64无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了 材料的某一极限值，材料就发生屈服。3、最大切应

15、力理论（第三强度理论）构件危险点的最大切应力。材料极限切应力，可由单向拉伸实验确定。65屈服条件：强度条件 ：低碳钢拉伸低碳钢扭转66实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。 1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。67无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到与材料有关的某一个极限值，材料就发生屈服。4、畸变能密度理论（第四强度理论）构件危险点的畸变能密度。畸变能密度的极限值，可由单拉实验确定。68屈服条件：强度条件：几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验表明，畸变能密度屈服准则与试验结果相当吻合，此理论比第三强度理论更符合试验结果,更经济，在工程中得到了广泛应用。69强度理论的统一表达式：相当应力70强度理论材质对失效的影响脆性材料一般脆性断裂，第一、第二强度理论塑性材料一般塑性屈服第三、第四强度理论强度理论的作用71应力状态的影响脆 性 材 料第一强度理论纵向开裂斜截面开裂第二强度理论直接实验第三强度理论一般应力状态下第三、第四强度理论三向等拉状态第一强度理论三向受压：塑 性 材 料72第 1-4