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2、ds), 设(x, y)为小弧段 ds 上任一点. 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2(x, y)ds, dIy=x2(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 , . =LxdsyxyI),(2=LydsyxxI),(2曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 dMx=y(x, y)ds, dMy=x(x, y)ds . 曲线 L 的重心坐标为 =LLy dsyxdsyxxMMx),(),( , =LLx dsyxdsyxyMMy),(),( . 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2
3、, 则 . +=12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 . +=+=111111),(),(),(nniiiininiiiiiiisfsfsf令=maxsi0, 上式两边同时取极限 , +=+=nniiiiniiiiniiiisfsfsf101010 11 ),(lim),(lim),(lim 即得 . +=12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf3. 计算下列对弧长的曲线积分: w w w .k h d a w .c o m课后答案网(1)+Lndsyx)(22, 其中 L 为圆周 x=acos
4、 t , y=asin t (0t2); 解 +Lndsyx)(22+=20222222)cos()sin()sincos(dttatatatan=+20222222)cos()sin()sincos(dttatatatan. +=2012122nnadta(2), 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段; +Ldsyx)(解 L 的方程为 y=1x (0x1); +=+102)1(1)1()(dxxxxdsyxL22)1(10=+=dxxx. (3)xdxL, 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界; 解 L1: y=x2(0x1), L2: y=x(0x
5、1) . xdxLxdxxdxLL+=21+=1021022)(1)(1dxxxdxxx +=10102241xdxdxxx) 12655 (121+=. (4)dseyx L22+, 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0xa), L2: x=a cos t, y=a sin t )40(t, L3: x=x, y=x )220(ax, 因而 dsedsedsedseyx Lyx Lyx Lyx L22322222122+=, +=axaaxdxedttataedxe2202224
6、022 02211)cos()sin(012)42(+=aea. w w w .k h d a w .c o m课后答案网(5)+dszyx2221, 其中为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从0变到2 的这段弧; 解 dtdtdz dtdy dtdxds222)()()(+= dtetetetetettttt222)cossin()sincos(+=dtet3=, +=+20222222223sincos11dteetetedszyxt ttt=20220)1 (232323eedtett. (6), 其中为折线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点
7、(0, 0, 0)、 yzdsx2(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 =AB+BC+CD, 其中 AB: x=0, y=0, z=t (0t1), BC: x=t, y=0, z=2(0t3), CD: x=1, y=t, z=2(0t3), 故 yzdsxyzdsxyzdsxyzdsxCDBCAB2222+=9010200302223010=+=dttdtdt. (7), 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0t2); Ldsy2解 += Ldttattatadsy2022222)(cos)sin()cos1 ( =2023
8、cos1)cos1 (2dttta3 15256a=. (8), 其中 L 为曲线 x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0t2). +Ldsyx)(22解 dtdtdy dtdxds22)()(+=atdtdttattat=+=22)sin()cos( atdttttatttadsyxL)cos(sin)sin(cos)(22202222+=+w w w .k h d a w .c o m课后答案网. +=+=2023223)21 (2)1 (atdtta4. 求半径为 a, 中心角为 2的均匀圆弧(线密度=1)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示
9、, 由对称性可知0=y, 又 =LxxdsaMMx21=adaacos21 sina=, 所以圆弧的重心为) 0 ,sin(a5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中 012, 它的线密度(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心. 解 dttztytxds)()()(222+=dtka22+=. (1) +=LzdszyxyxI),()(22dszyxyxL)(22222+=dtkatkaa+=20222222)()43 (32222222kakaa+=. (2)+=LLdszyxdszyxM
10、)(),(222+=2022222)(dtkatka )43 (3222222kaka+=, dszyxxMxL)(1222+=+=2022222)(cos1dtkatkataM2222436 kaak +=, dszyxyMyL)(1222+=+=2022222)(sin1dtkatkataM2222436 kaak +=, dszyxzMzL)(1222+=+=2022222)(1dtkatkaktM22222243)2(3 kakak +=, 故重心坐标为)43)2(3,436,436(22222222222222kakak kaak kaak + +. w w w .k h d a w
11、 .c o m课后答案网w w w .k h d a w .c o m课后答案网习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: . =LdxyxP0),(证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是 00) ,()( ,(),(2121=bbbbLdttaPdtdtdataPdxyxP. 2. 设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线, 证明. =LbadxxPdxyxP) 0 ,(),(证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以 . =b
12、aLbadxxPdxxxPdxyxP) 0 ,()(0 ,(),(3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1), 其中L是抛物线y=xLdxyx)(222上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 解 L: y=x2, x从 0 变到 2, 所以 =Ldxxxdxyx204222 1556)()(. (2)Lxydx, 其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t从 0 变到, L2: x=x, y=0, x从 0 变到 2a, 因此 +=21L
13、LLxydxxydxxydx +=adxdttaatata2000)cos(sin)cos1 (3 02 023 2)sinsinsin(attdtdta=+=. (3), 其中 L 为圆周 x=Rcost, y=Rsint 上对应 t 从 0 到 +Lxdyydx2的一段弧; w w w .k h d a w .c o m课后答案网解 +=+LdtttRRtRtRxdyydxcoscos)sin(sin2 0=2 0202cos tdtR. (4)+Lyxdyyxdxyx 22)()(, 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x=acos t, y=as
14、in t, t 从 0 变到 2, 所以 +Lyxdyyxdxyx 22)()(+=202)cos)(sincos()sin)(sincos(1dttatatatatataa=202 221dtaa. (5), 其中 为曲线 x=k, y=acos, z=asin上对 ydzzdydxx+2应从 0 到的一段弧; 解 +=+022coscos)sin(sin)(daaaakkydzzdydxx23322 03 31)(akdak=. (6), 其中 是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 dzyxydyxdx) 1(+一段直线; 解 的参数方程为 x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t 从 0 变到 1. +dzyxydyxdx) 1(+=10)1211 ( 3)21 ( 2)1(dttttt. =+=1013)146(dtt(7)+ydzdydx, 其中 为有向闭折线 ABCA , 这里的 A, B, C 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 =AB+BC+CA, 其中 AB: x=x, y=
