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1、1课时达标检测课时达标检测( (十四）十四） 导数的概念及导数的运算导数的概念及导数的运算练基础小题强化运算能力1(2018镇江调研)函数f(x)(x1)2(x1)在x1 处的导数等于_解析：f(x)(x1)2(x1)x3x2x1，f(x)3x22x1，f(1)3214.答案：42(2017苏州暑假测试)曲线y2x在x0 处的切线方程是_解析：因为y2xln 2，所以在x0 处的切线斜率为k20ln 2ln 2，因此切线方程是y1ln 2(x0)，即yxln 21.答案：yxln 213已知直线yx1 是函数f(x) ex图象的切线，则实数a_.1 a解析：设切点为(x0，y0)f (x) e
2、x，则f (x0) ex01，e 1 a1 ax0a，又 e x0x01，x02，ae2.1 a答案：e24(2018无锡期末)过曲线yx (x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y1 x轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为 ，则x0_.1 3解析：y1，yxx01，1 x21 x2 0AB：yy0(xx0)(11 x2 0)又y0x0，yx0(xx0)1 x01 x0(11 x2 0)令x0 得y；2 x0令y0 得x，2x0 1x2 0SOAB ，解得x(负值舍去)1 22 x02x0 1x2 01 35答案：55(2018常州月考)设点P为函数f(x)图象上任一点，且
3、f(x)在点P处1 2(x31 x)2的切线的倾斜角为，则的取值范围为_解析：由f(x)得，f(x) 2，即 tan 1 2(x31 x)1 2(3x21 x2)1 233(0，)，解得.3 3 2答案： 3，2)练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018扬州期初测试)若以数列an中的各项an作为系数，构成一个函数系yanx3，其图象在x1 处的切线的斜率为 4an11(n2)，且a1 ，则an_.4 3解析：由yanx3，得y3anx2，故当x1 时，切线的斜率k3an，从而 3an 4an11(n2)，于是 3an34an14(n2)，故 (n2)，又a1 ，所以an1 an114 34
4、 3a11 ，所以数列an1是以 为首项， 为公比的等比数列，故an1 n1，从1 31 34 31 3(4 3)而an1.4n1 3n答案：14n1 3n2(2018泰州模拟)已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_解析：设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率kf(t)3t2a ，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt) .将点A(1，0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0 或t .分别将t0 和3 2t 代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，故aa0，解3
5、 227 427 4得a.27 8答案：27 83(2018太仓高级中学模拟)若点P，Q分别是曲线y与直线 4xy0 上的动x4 x点，则线段PQ长的最小值为_解析：易知曲线y与直线 4xy0 无公共点，设直线 4xym与y相切，x4 xx4 x3P为切点对y求导得y，由4 得x1，因此P(1,5)或x4 x4 x24 x2P(1，3)，解得m9 或m7，此时两直线 4xym,4xy0 间的距离分别为，917，故线段PQ长的最小值为.7177 1717答案：7 17174(2018淮安月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导函数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上
6、存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0 在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上为凸函数(0， 2)的是_(填序号)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：在定义域内，由f(x)sin xcos x0，得是凸函数；由(0， 2)f(x)0，得是凸函数；由f(x)6x0，得是凸函数；由f(x)1 x22exxex0，得不是凸函数答案：5(2018重庆诊断)已知函数f(x)sin x，其导函数为f(x)，则f(2 2 ex1019) f(2 019)f(2 019)f(2 019)的值为_解析：f(x)sin x，f
7、(x)cos x，f(x)f(x)2 ex12ex ex12sin xsin(x)2，f(x)f(x)cos x2 ex12 ex12ex ex12cos(x)0，2ex ex12f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2.答案：26(2018宿迁期初测试)若直线l与曲线C满足下列两个条件：()直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；()曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列四个命题：直线l：y0 在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：yx1 在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln x；4直线l：yx 在点P(，0)处“
8、切过”曲线C：ysin x；直线l：yx1 在点P(0,1)处“切过”曲线C：yex.其中正确的命题有_(填序号)解析：对于，yx3在点P(0,0)处的切线为y0，且曲线yx3在(0,0)附近位于直线y0 两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于，曲线C：yln x在直线l：yx1 的同侧，不符合题意，所以错误；对于，由图象可知，曲线C：ysin x在点P(，0)附近位于直线l的两侧，符合题意，所以正确；对于，曲线C：yex在直线l：yx1 的同侧，不符合题意，所以错误即正确的有.答案：7(2018启东中学月考)若曲线yaln x与曲线y在它们的公共点P(s，t)处具x2 2e有公切线，则 _.
9、t s解析：函数yaln x的导函数为y ，其切线在P(s，t)处的斜率为k1 .函数a xa sy的导函数为y ，其切线在P(s，t)处的斜率为k2 .由曲线yaln x与曲线x2 2ex es ey在它们的公共点P(s，t)处具有公切线，可得 ，且taln s，s0，所以x2 2ea ss es2 2eln s ，所以s2e，所以t ，s，即 .1 21 2et se2e答案：e2e8(2018无锡期初测试)曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2 所围成，过曲线yx21，x1,2上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_解析：设P(x0，x1)，
10、x1,2，则易知曲线yx21 在点P处的切线方程为2 0y(x1)2x0(xx0)，令y2x0(xx0)x1g(x)，由g(1)g(2)2(x1)2 02 02 02x0(1x02x0)，得S普通梯形1x3x012，g1g2 22 0(x03 2)13 4所以当P点坐标为时，S普通梯形最大(3 2，13 4)答案：(3 2，13 4)9若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_5解析：由题意，可知f(x)3ax2 ，又曲线存在垂直于y轴的切线，所以1 x3ax2 0，即a(x0)，故a(，0)1 x1 3x3答案：(，0)10(2018南通调研)在平面直角坐标系x
11、Oy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是_x1 x2解析：由yx2得y2x，切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由2 12 1yx3得y3x2，切线方程为yx3x(xx2)，即y3x x2x，3 22 22 23 2由Error!得 .x1 x24 3答案：4 3二、解答题11已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.1 3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(
12、x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得1k0 或k1，故由1x24x30 或x24x31，得x(，2(1,3)2，)2212(2018启东中学高三月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12 和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，3a66a0，a2.(2)存
13、在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，6则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，2 0所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，2 0将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01 时，g(1)0，切线方程为y9；当x01 时，g(1)12，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0 得6x26x120, 解得x1 或x2.在x1 处，yf(x)的切线方程为y18；在x2 处，yf(x)的切线方程为y9.所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12 得6x26x1212，解得x0 或x1.在x0 处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1 处，yf(x)的切线方程为y12x10；所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.
