《山西农业大学文理学院物理系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西农业大学文理学院物理系（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山西农业大学文理学院物理系武秀荣 编第二章 刚体的转动第二章 刚体的转动基本要求：1掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意义及角 量与线量关系；2掌握转动定律，理解转动惯量的物理意义；3掌握角动量，冲量矩的概念及角动量原理和角动量守恒 定律；4理解力矩的功和转动动能的概念，会用转动动能定理（ 定轴）计算。注：研究对象由质点变为刚体，运动由平动转动，学习时 可用类比法。特征：质点组（系统）内任两质点间距离在运动中恒不变（刚体）,故 可在质点力学（牛顿运动定律）的基础上推出刚体转动的规律。一、基本概念刚体：物体运动时，形状大小不会改变的物体（受力、静止、运动时）研究内容：物体（刚体）的转动（略
2、振动）基本方法：以质点力学为基础,将刚体看成由无数个细微部分（质点） 构成的质点组（系统）21 刚体的平动和转动（运动学）显然刚体在平动时，在任意时间内， 位移、速度、加速度对于刚体上各点来 说都是相等的，故刚体可简化为质 点。1定义：若连接刚体上任意两点的直线在运动中恒不改变向。例：火车在直线轨道上行驶,升降机运动均为平动。bcab刚体的平动过程一、刚体的平动第二章 刚体的转动如电机的转 子，车轮、砂轮 、门、窗的转动 。轴上点不动， 其它点绕周做圆 周运动。 二、刚体绕定轴转动1定义：刚体上各质点在运动中 都绕同一（不动）直线作圆周运动，这 种运动称刚体的转动，这一直线称为刚 体的转轴，如
3、地球自转。若转轴在所选参考系中位置、方向 固定不变，称为定轴转动。2特征和描述方法特征：刚体是作为一整体转动的（除转轴外），其 上每一点的半径在同一时间内转过同样大的角度，故在 刚体上任取一点P，考虑P对转轴上对应点的运动（圆周 运动）, 即可代表刚体的转动规律。描述：在刚体上任取一质点P，过P点作一垂直于定轴 的平面，称为转动平面，O为轴与平面交点，刚体转动时， P点在转动平面内绕O点作圆周运动，故用角量描述方便。t内：P 点具有、，其它各点都在各自转 动平面内作圆周运动，且、 、与P点对应的 、相等（整体运动） xP 转动平面转轴OP点在t内的、即可代替刚体转动 的、，这样刚体的转动就变成
4、刚体上任 一点P在其它的转动平面内绕轴的圆周运动了，有 关公式可利用（从上下俯视）z,注：刚体上各质点的位移、速度，加速度不一定相等，（半径不同）。3角速度矢量（为充分反映刚体转动情况，常用矢量表示角速度）o例题1 一飞轮转速n =1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。（1）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N ；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的加速度 ；（3）设飞轮的半径r=1m，求 在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。解三、举例0O（1）设初角度为0方向如图所示，量值为 0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表
5、示的运动方程，在t=50S 时 刻 =0 ，代入方程=0+t 得从开始制动到静止，飞轮的角位移 及 转数N 分别为（2）t=25s时飞轮的角速度为的方向与0相同 ；（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向 加速度和向心加速度分别为由边缘上该点的加速度 ,其中 的方向与 的方向相反， 的方 向指向轴心， 的大小为的方向几乎和 相同。0OP例题2 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角速度、角加速度。解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速
6、度是角速度对t的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。开门窗的常识告诉我们，使刚体转动，产生角加速度的大小，不仅与力 有关，且与力的作用点有关，于是引入力矩概念。二、定轴转动动力学一、刚体平动动力学（相当于一质点，质点质量为刚体的质量）。22 刚 体 动 力学O 作用点矢径为 。力矩单位：牛顿米（Nm）。，且在转动平面内,刚体受外力1. 力矩(对转轴)Or P*讨论：（1） 外力不在转动平面内时，可将分解为、，使物体转动，理解为在作用点转动平面内的分力（2）在定轴转动中，当规定了转动正方向时，就可用正、负表示力矩的 方向，（沿轴线一维）。（3）有几个外力同时作用在刚体上时，产生的力矩 可等
7、效为一个力矩，这个力矩称为合力矩。即， （平行四边形法则）在定轴转动中，规定正方向后，方向可用正、负 表示。故合力矩等于各个力矩的代数和。OFrF1 F2p2. 刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：对刚体中任一质量元-外力-内力OO采用自然坐标系，上式切向分量式为：Po用 乘以上式左右两端：设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似 方程，将N 个方程左右相加，得：故由于上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和括号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是刚体定 轴转动 定律与牛顿第二定律相比，J 与m相当，是描写物体转动惯性大小的物理量 （对给定轴），称做
8、转动惯量J ，其大小与刚体的质量、质量分布、转轴位 置有关（见例题）。其计算表达式为为到转轴的距离，质量连续分布时V质量分布的区域，dV体积元， dV 处的密度。 单位：千克米2（kgm2）。（质量不连续分布）讨论: 都是对同一固定轴而言，单位采用SI单位制 . M（合外力矩 ）一定，(2）力矩的瞬时作用规律，M、同时存在,同时消失，M 是使刚体转动状态变化的根源。（3）解题步骤：（与质点动力学类同）a.确定对象选坐标； b. 分析受力和力矩；（正负、方向）c.运用定律列方程；（牛二律、转动定律、角量与线量的关系）d.求解方程得结果。（单位统一）注意：质质点平动动和转动转动 关系。 转动定律：
9、刚体绕定轴转动时，刚体的 角加速度和它所受的合外力矩成正比， 和它的转动惯量成反比。质元的质量质元到转轴的距离质量连续分布时3. 转动惯量的计算例题1 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。Oxdxl ABxdxlxxO解（1）如图示，选坐标ox,在棒上离轴x 处，取一质元dm =dx；dJ=x2dx；（=m/ l）（线分布）（面分布）（体分布）选坐标取质元; 分析质元写dJ; 积分dJ算结果。（2）转轴通过棒的一端A和棒垂直时，A（3）转轴过棒上距中心为h 的
10、点和棒垂直时，平行轴定理O dxhlxxO上述例题表明，同一刚体转动惯量与转轴的位置有关。例题2 求质量为m，密度均匀,半径为R 的细圆环和圆盘对于通过中心 并与盘面垂直的转轴的转动惯量。(2)设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的环带（如图），环的面积dS=2rdr，环的质量dm = 2rdr 。可得RORO解 (1)细圆环上任意处到中心转的距离都等于R,所以rdrROr表明，转动惯量与质量分布有关。例题3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量 为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r， 所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮
11、之间无相对滑动。试求物体的加速度和 绳的张力。m1 m2abaT2T1T1T2G2G1am1m2b rMr列出方程解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张 力不再相等。研究对象：滑轮、m1、m2；隔离物体,分析受力、力矩； Mr 的指向如图所示。可解得式中当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单 装置。因为在已知m1、 m2 、r 和J 的情况下，能通过实验测出物体1和2的加 速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从 而使它们的加速度a和速度v 都较小，这样就能角精确地测出a来。
