《机械控制工程基础》5-use

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1、机械工程控制基础n5. 系统的稳定性n5.1 系统稳定的条件n5.2 稳定性的代数判据n5.3 稳定性的几何判据n5.4 系统的相对稳定性125. 控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个 不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则， 也称为系统的稳定性判据。也称为系统的稳定性判据。 劳斯（劳斯（RouthRouth）- -胡尔维茨（胡尔维茨（HurwitzHurwitz）判据）判据: :是依据闭环系是依据闭环系 统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代

2、数判统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判 据。据。 奈奎斯特判据奈奎斯特判据: :是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（ -1-1，j0j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判 别，这是一种几何判据。别，这是一种几何判据。 波德判据波德判据: :实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它 们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定 性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直性与稳态裕度这些概念时，波德判据显

3、得更为清晰、直 观观, ,从而获得广泛采用。从而获得广泛采用。机械工程控制基础35.1 系统稳定的初步概念一 稳定的概念Ab、不稳定的摆AAAa、稳定的摆 4收敛（稳定）等幅振荡（临界稳定）发散（不稳定）x0(t)t用图形表示：5注意：1线性系统的稳定性取决于系统的内部条件，与输入无关2系统发生不稳定现象，必须有适当的反馈作用3控制理论所讨论的稳定性是指输入为零时的系统稳定65.1 控制系统稳定性的基本概念 5.1.1 稳定性概念稳定性概念 控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应控制系统的稳定性是指系统在给定信号作用下，输出应 能达到新的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出能达到新

4、的平衡状态，或在扰动去掉之后，系统的输出 能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。如图能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。如图5-1(a)5-1(a)所所 示，这样的系统就是稳定的系统。若系统承受的外界扰示，这样的系统就是稳定的系统。若系统承受的外界扰 动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位 置，或发生不衰减的持续振荡。如图置，或发生不衰减的持续振荡。如图5-15-1（b b）所示，这）所示，这 样的系统就是不稳定系统。样的系统就是不稳定系统。 机械工程控制基础7图5-1系统稳定性示意图 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输

5、入信号的形式无关。 机械工程控制基础8线性定常系统5.1.2 系统稳定的条件系统稳定的条件9经过Laplace变换（考虑到初始条件）其中：N(s)-与初始条件有关的s的多项式10当输入为零时 ：Si-系统的根Ai-与初始条件有关的系数L-1当Resi0, a10, a00阶次较低的系统， Routh判据可表示为 ：劳斯阵列为 ：s2a0a2 s1a10 s0a235三阶系统：特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0a30 , a20, a10 , a00 a2a1-a3a00系统稳 定的条件 ：s3 a3 a1 s2 a2 a0 s1s0a036例：控制系统的方框图如下，试确定当输

6、入为单位速度信号时,系统的稳态误差 ess2538系统稳定时的K值范围 系统稳定且ess0K000 -10(+)00 1-101 + 0 40（3）劳斯判据的特殊情况例5-4 设有特征方程为试判断系统的稳定性。 1 1）某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况）某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况 如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为 零则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进零则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进 行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数行计算。为克服这一困难，计算时可用无

7、穷小正数 来代替来代替 零元素，然后继续进行计算。零元素，然后继续进行计算。机械工程控制基础41由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变 化，表明特征方程在化，表明特征方程在s s平面的右半平面内有两个根，该闭平面的右半平面内有两个根，该闭 环系统是不稳定系统。环系统是不稳定系统。解：劳斯阵列：解：劳斯阵列：此时第三行第一列元素为零，用一无限小此时第三行第一列元素为零，用一无限小 代替代替0 0， 然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上，观察第一列各项数然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上，观察第一列各项数 值，当值，当 0 0时，则时

8、，则机械工程控制基础422 2）某行全部元素值为零的情况）某行全部元素值为零的情况 说明系统的特征方程式的根中存在以下情况：说明系统的特征方程式的根中存在以下情况：1 1）存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由）存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由 响应发散，系统不稳定）响应发散，系统不稳定） ；2 2）存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复）存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复 根（系统自由响应发散，系统不稳定）根（系统自由响应发散，系统不稳定） ；3 3）存在一对共轭纯虚根；（系统自由响应会维持某一）存在一对共轭纯虚根；（系统自由响应会维持某一 频率的等幅振荡，系统

9、临界稳定）；频率的等幅振荡，系统临界稳定）；4 4）以上几种根的组合。）以上几种根的组合。（3）劳斯判据的特殊情况机械工程控制基础43在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断，并在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断，并 且此行根的数目总是偶数，为了写出下面各行，可将该行且此行根的数目总是偶数，为了写出下面各行，可将该行 的上一行的各项组成一个的上一行的各项组成一个“ “辅助方程式辅助方程式” ”。式中。式中s s的方次均的方次均 为偶次降。方程式对为偶次降。方程式对s s求导，用求导得到的各项系数来代求导，用求导得到的各项系数来代 替为零的一行系数，然后继续按照劳斯阵列表的列写

10、方法替为零的一行系数，然后继续按照劳斯阵列表的列写方法 ，计算余下各行直至计算完（，计算余下各行直至计算完（n n+1+1）行为止。）行为止。这些大小相等、符号相反的特征根，可由辅助方程得到这些大小相等、符号相反的特征根，可由辅助方程得到 。（3）劳斯判据的特殊情况机械工程控制基础44例例5-5 5-5 设某一系统的特征方程式为设某一系统的特征方程式为试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。解：特征方程各项系数为正，列出劳斯阵列表如下：解：特征方程各项系数为正，列出劳斯阵列表如下：（各元素除以（各元素除以2 2后的值）后的值）（各元素除以（各元素除以2 2后的值）后的值）机械工程控制基础45取

11、出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为将将A A( (s s) )对对s s求导得到求导得到以上式的系数代以上式的系数代 替全部为零的一替全部为零的一 行，然后继续作行，然后继续作 出劳斯阵列表为出劳斯阵列表为（各元素除以（各元素除以4 4后的值）后的值）机械工程控制基础46从劳斯阵列表的第一列可以看出，各项并无符号变 化，因此特征方程无正根。但因s3行出现全为零的情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过求解辅助 方程A(s)得到 此式的两对共轭虚根为这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上， 因此该控制系统处于临界状态，等幅振荡。机械工程控制基础47解：由已知条件知，系统一定存在一对共轭

12、纯虚根s1,2=j2。 由方框图得，系统的特征方程为 s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出Routh表如下：练习题：系统的传递函数方框图如图所示。试确定练习题：系统的传递函数方框图如图所示。试确定K K和和a a 取何值时，系统将维持以角频率取何值时，系统将维持以角频率 =2=2s s-1-1的持续振荡。的持续振荡。机械工程控制基础48显然，只有Routh表中S 行的元素全为0时，该特征方程才会有一对共轭纯虚根。令 ， 而其辅助方程为机械工程控制基础49解得一对共轭纯虚根联立方程 和 ，解得机械工程控制基础505.3.1 5.3.1 奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist

13、）稳定判据）稳定判据 奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）稳定判据简称为奈氏判据，它是利用系）稳定判据简称为奈氏判据，它是利用系 统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法。统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法。 它是一种几何判据。它是一种几何判据。5.35.3 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据1 1） 利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系 统开环频率特性统开环频率特性( (j j ) )HH( (j j ) )曲线来分析闭环系统的稳定性。曲线来分析闭环系统的稳定性。2 2）由于系统的频率特性

14、可以用实验方法得，所以奈氏判据对）由于系统的频率特性可以用实验方法得，所以奈氏判据对 那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义 。 3 3）奈氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而）奈氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而 指出改善系统稳定性的途径。指出改善系统稳定性的途径。机械工程控制基础51（1 1） 稳定性判据稳定性判据 如图如图5-2 5-2 的闭环系统，其传递函数为的闭环系统，其传递函数为 ，奈奎斯特稳定判据为：奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数在开环传递函数G G( (s s) )HH( (s s)

15、 )中，令中，令s s= =j j ，当，当 在在-至至+范围内变化时，可画出闭合的极坐范围内变化时，可画出闭合的极坐 标图（奈奎斯特图），它以标图（奈奎斯特图），它以反时针方向反时针方向绕（绕（-1-1，j j0 0）点）点 的圈数为的圈数为N N，假定，假定开环极点开环极点在在s s右半平面的个数为右半平面的个数为P P，当，当 满足于满足于N N= =P P的关系时，闭环系统是稳定的。的关系时，闭环系统是稳定的。机械工程控制基础52如图所示系统的开环极坐标图，其开环传递函如图所示系统的开环极坐标图，其开环传递函 数为数为 由极坐标图可见，当频率由极坐标图可见，当频率 由由-变化到变化到+时，以反时针绕（时，以反时针绕（-1-1 ，j j0 0）点）点2 2圈，即圈，即N N=2=2，由上面，由上面G G( (s s) )HH( (s s) )可以看出，开环传递函可以看出，开环传递函 数有数有2 2个极点在个极点在s s右半平面，即右半平面，即P P=2=2。由于极坐标图的转向是反。由于极坐标图的转向是反 时针的，又由于时针的，又由于N N= =P P