电子科技大学代数系统

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1、电子科技大学离散数学课程组国家精品课程离 散 数 学电子科技大学计算机科学与工程学院示 范 性 软 件 学 院*电子科技大学离散数学课程组国家精品课程2*第五篇 代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象代数”。 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程3*第五篇 代数系统内容集合的概念1集合的表示方法2环与域3格与布尔代数4代数系统与性质1半群与群2电子科技大学离散数学课程组国家精品课程4*第十二章 代数系统集合的概念1同态与同构3代数系统与子代数1运算性质与特殊元2电子科技大学离

2、散数学课程组国家精品课程5*12.1 本章学习要求重点掌握一般掌握了解11 代数系统与 子代数 2 二元运算律 3 特殊元 4 同态与同构 3同态与同构的应用2同类型代数系统电子科技大学离散数学课程组国家精品课程6*代数运算定义12.2.1 设A, B, C是非空集合，从AB到C的 一个映射（或函数） ：ABC称为一个AB到 C的二元代数运算，简称二元运算。称自然数集合N上的加法“+”为运算，这是因为给定 两个自然数a, b, 由加法“+”，可以得到唯一的自然数c = a + b。 加法“+” 是映射吗？ N上的加法运算“+”本质上是一个NNN的映射 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程7*

3、代数运算一个二元运算就是一个特殊的映射 ，该映射 能够对aA和b B进行运算 ，得到C中的一 个元c , 即 (a, b)c 。中缀方法表示为a bc 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程8*例12.2.1判别下面的映射或表是否是二元运算：（1）设A = 0, 1, B = 1, 2, C = 奇, 偶 ，定义映射: ABC，其中 (0, 1) = 奇， (0, 2) = 偶， (1, 1) = 偶， (1, 2) = 奇。分析 “”是一个AB到C的映射，因此，按定义 12.2.1，则“”是一个AB到C的运算。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程9*例12.2.1（续）（2）一架自动售货机

4、，能 接受五角和一元硬币， 而所对应的商品是纯净 水、矿泉水、橘子水， 当人们投入上述硬币中 的任何两枚时，自动售 货机供应出相应的商品 (右表)。表 五角一元五角纯净水矿泉水一元矿泉水橘子水电子科技大学离散数学课程组国家精品课程10*例12.2.1（续）分析 设集合A = 五角，一元，集合C = 纯净 水，矿泉水，橘子水，则表12.2.1实质上是 AAC的映射，也就是AA到C的一个运算“”。解 (1)、(2)中定义的映射是二元运算。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程11*运算表运算表 b1b2bm a1a1 b1a1 b2a1 bm a2a2 b1a2 b2a2 bm anan b1an

5、 b2an bm当集合A和B有限时，一个AB到C的代数运算，可以 借用一个表，称为运算表（乘法表 ）来说明。 设“”是AAC的运算，A = a1, a2, , an, B = b1, b2, , bm,则运算“”可用下表说明。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程12*定义12.2.2设A1, A2, , An，A是非空集合， A1A2An到A的一个映射(或函数) ： A1A2AnA称为一个A1A2An到A的 n元代数运算，简称n元运算。当n = 1时，称为 一元运算。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程13*1元代数运算表当元素有限时，一元运算也可以用运算表来说明。设“”是A到A的一元运算

6、，其中A = a1, a2, , an，则一元运算“”可以用右表说明。1元运算表a (a)a1 (a1)a2 (a2)an (an)电子科技大学离散数学课程组国家精品课程14*代数运算：封闭性定义12.2.3 如果“”是AA到A的二元运算，则称运算“”对集合A是封闭的，或者称“”是A上的二元运算。定义12.2.4 设“”是一个A1A2An到A的n元 代数运算，如果A1A2AnA，则称代数运算 “”对集合A是封闭的，或者称是A上的n元代数运 算。 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程15*说 明一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号 “+”、“-”、“*”、“/”、“”、“”、“”、 “”、

7、“”、“”、“”、“”、“”、“+”、 “”、“”等抽象的符号来表示一个抽象的运算。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程16*定义12.2.5 设A是非空集合，1, 2, , m分别是定义在A上k1, k2, km元封闭运算，ki是正整数，i = 1, 2, , m。称集合A和1, 2, , m所组成的系统称为代数 系统，简称代数，记为。当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统， 否则称为无限代数系统注意：判断集合A和其上的代数运算是否是代数系 统，关键是判断两点：一是集合A非空，二是这些 运算关于A是否满足封闭性。 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程17*例子(1) R上的“+”、

8、“”运算；解 构成一个代数系统R，+，； (2) p（S）上的“”、“”、“”运算；解 构成代数系统,称集合代数； (3) 含有n个命题变元的命题集合A与A上的“”、 “”、“”运算；解 构成代数系统A，称之为命 题代数。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程18*同类型代数系统定义12.2.6 设和是两个代数系统，若“oi”和“i”都 是ki元运算，i = 1, 2, , m，则称这两个代数 同类型。如：代数系统Z，+,Z，,R，+,p （S），,p（S），都是同类型的代数 系统。代数系统I，+，、R，+，、 p（S），都是同类型的代数系统。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程19*子代数

9、定义12.2.7 设是代数系 统，如果：（1）BA并且B ；（2）1, 2, , m都是B上的封闭运算。则也是一个代数系统，称 之为的子代数系统，简称 子代数。又若B A，则称 是的真子代数。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程20*子代数子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过 研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的 某些重要性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。注意：在后面章节中，将会学习半群、群、格、 布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应 用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子 群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后 面不再赘述某些典型代数系统中子代数

10、的定义。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程21*例12.2.4 在代数系统中，令Q = 5z | z Z，证明是的子代数。分析 根据定义，只需证明两点：（1）Q是非空子集；（2） “+”对集合Q封闭。显然，集合Q非空。对任意的5z1，5z2Q，有5z1 + 5z2 = 5(z1 + z2)Q，因此“+”对集合Q封闭。 证明 略。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程22*12.3.1 二元运算律 例12.3.1 设“+”是定义在自然数集合N上的普通 加法运算，试回忆N上的加法运算“+”满足哪些运 算性质？分析 对 a, b, cN，有(a + b) + c = a + (b + c)，即结

11、合律成立；a + b = b + a，即交换律成立； x, yN，如果a + x = b + y，则x = y，即消去律成立；0N，0 + 0 = 0，即0是幂等元，但其他自然数不 是幂等元，即不满足幂等律。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程23*结合律与交换律定义12.3.1 设是二元代数系统，如果对 任意的a, b, cA，都有(a*b) *ca* (b*c)则称“*”在A上是可结合的，或称满足结合律。定义12.3.2 设是二元代数系统，如果对 任意的a, bA，都有a * bb * a则称“”在A上是可交换的，或称满足交换律。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程24*消去律定义12

12、.3.3 设是二元代数系统，元素aA ， （1）对任意x, yA，都有如果a x = a y，那么x = y，则称a在A中关于“”是左可消去元； （2）对任意x, yA，都有如果x a = y a，那么x = y，则称a在A中关于“”是右可消去元；电子科技大学离散数学课程组国家精品课程25*消去律（续）（3）如果a既是A左可消去元又是右可消去元，则 称a是A的可消去元；（4）若A中所有元素都是可消去元，则称“”在A 上可消去，或称“”满足消去律。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程26*幂等律定义12.3.4 设是二元代数系统，若元素 aA，满足aa = a，则称a是A中关于“”的一个幂等元

13、，简称a为幂等 元。若A中的每一个元素都是幂等元，则称“”在 A中是幂等的，或称“”满足幂等律。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程27*幂等律设“”是集合A上的二元运算，aA，则aaA， aaaA，,由此，可以归纳定义a的正整数幂方 ：a1 = a，a2 = aa，a3 = a2a，an = an1a，对任意的正整数n，m，有以下等式：an am = an+m， （an）m = anm。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程28*分配律定义12.3.5 ：设“”、“”是集合A上的二元运算，是一个代数系统， 对a,b,cS，有（1）a(b*c)=(ab)*(ac)， 则称运算“”对“*”在S

14、上满足左分配律(或第一分配律)；（2) (b*c) a=(ba)*(ca)， 则称运算“”对“*”在S 上满足右分配律(或第二分配律) ； （3) 如果“”对“*”既满足左分配律又满足右分配律， 则称”对“*”在S上满足分配律。电子科技大学离散数学课程组国家精品课程29*吸收律定义12.3.6 设“”、“”是集合A上的二元运 算，是一个代数系统，如果对任意的x, yA，都有x (x y) = x，x (x y) = x，则称“”和“”满足吸收律电子科技大学离散数学课程组国家精品课程30*特殊元在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫特殊元 。例如在代数系统，其中N是自然数，“”是 普通加法，0 N

15、 ，并且对任意的自然数x N ，有x0x0x 电子科技大学离散数学课程组国家精品课程31*幺元（单位元）定义12.3.7 设是二元代数系统， （1）若存在eA，对任意aA，都有a e = e a = a， 则称e是A中关于运算“”的一个幺元（单位元） （2）若存在elA，使得对任意aA，都有el a = a， 则称el是A中关于运算“”的一个左幺元（左单位元 ） （3）若存在erA，使得对任意aA，都有a er = a， 称er是A中关于运算“”的一个右幺元（右单位元）电子科技大学离散数学课程组国家精品课程32*例12.3.5 下列代数系统是否存在幺元(左幺元或右幺元)，如果 存在计算之。（1），R是实数集，“+”是加法运算；（2），R+是正实数集，“+”是加法运算；（3），其中P (AA)表示集合A上的所 有二元关系集合，运算“”表示关系的复合；（4），其中