§1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)

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1、重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据：时间间 隔 t刚记 忆完 毕20分 钟后60分 钟后8-9 小时 后1天 后2天 后6天 后一个 月后记忆 量y (百分比)10058.244.235.833.7 27.8 25.4 21.1以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100Date2重庆市万州高级中学 曾国荣

2、 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值 y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如 何对待刚学过的知识?tyo20406080100123思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降 的，对此，我们如何用数学观点进行解释？Date3重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)知识探究（一）yxoxyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？考察下列两个函数:Date4重庆市万州高级中学 曾

3、国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一) 引入：从函数y=x2的图象看到：图象在y轴的 右侧部分是上升的,也就是说,当在区间0，+ )上取值时,随着x的增大,相应的y值也随着增大, 即如果取x1,x20，+ ),得到y1=f(x1),y2=f(x2), 那么当x1f(x2),则说在这个区间上 是减函数.abOxyy = f (x)x2x1f(x1)f(x2)y = f (x)x2x1f(x1)f(x2)OxyabDate8重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一) 单调性与单调区间在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函 数的图象是下降的.若函数y=f(x)

4、在某个区间是增函数或减函数，则 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一 区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x) 是这一区间上的单调函数.Date9重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)说明： 函数的单调区间是其定义域的子集； 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，图5中， 在那样的特定位置上，虽然使得 ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； Date10重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，

5、它的 定义类似上述的定义，只要将上述定义中的 或 改为 或 即可； 定义的内涵与外延：内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况.外延:一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单 调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递 减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象 上升，则为增函数，图象下降则为减函数.Date11重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)例1.如图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的 图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一 单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数f(x)的单调区

6、间有-5,-2)，-2,1)，1,3)， 3,5,其中f(x)在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，在区间-2,1)，3,5上是增函数.Date12重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的 一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有 增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段 研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间 上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区 间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括 不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点.Date

7、13重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)例2.物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p 将增大。试用函数的单调性证明之。 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 (0，+)上的任意两个实数，且V10, V2- V1 0又k0,于是所以，函数 是减函数.也 就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论Date14重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)例3 证明函数 在R上是增函数.证明：设 是R上的任意两个实数,且 则:在R上是增函数. Date15重庆市万州高级中学 曾国荣

8、1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)(1991年全国) 求证:函数f (x) = x3 + 1在(, + )上是减函数.证明: 设x1 ,x2R 且 x1 f (x2) f(x) = x3 + 1在(, + )上是减函数. Date16重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)课堂小结： 讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的 单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性, 必须先确定函数的定义域; 根据定义证明函数单调性的一般步骤是： 设 是给定区间内的任意两个值，且作差 并将此差式变形(要注意变形的程度)判断 的正负（要注意说理的充分性）根据 的符

9、号确定其增减性.Date17重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)书面作业课堂练习 P.32 练习1.2.3.4 P.24 习题1.2A组9.10Date18重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)证明: 函数f (x)的定义域为R.解：设x1,x2 (-,+ ) 且x1 x2则:分子有理化是高中数学中的一种常用方法Date19重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)Date20重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)Date21重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单

10、调性与最大(小)值 (一)例2讨论函数 在(-2,2)内的单调性.解：对称轴 Oxy2-2Oxy2-2Oxy2-2Date22重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)例2讨论函数 在(-2,2)内的单调性.解：对称轴 若 ,则 在(-2,2)内是增函数若 则 在(-2,a)内是减函数,在a,2)内是增函数.若 ,则 在(-2,2)内是减函数Date23重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一) 复合函数单调性的判断对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果u=g(x)在区间 (a,b)上是具有单调性，当 时， ， 且y=f(u)在区间(m

11、,n)上也具有单调性，则复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：增 减 减 增 减 增 减 增 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或 “同增异减” Date24重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)证明：设 ，且 在 上是增函数， 且 在 上是增函数， 所以复合函数 在区间上是增函数Date25重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)证明：设 ，且 在 上是增函数， 且 在 上是减函数，所以复合函数 在区间上是减函数Date26重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)证明：设 ，且 在 上是减函数， 且 在 上是增函数，所以复合函数 在区间上是减函数Date27重庆市万州高级中学 曾国荣 1.3.1-1单调性与最大(小)值 (一)证明：设 ，且