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1、数学与计算机科学学院高等代数课件1代数是搞清楚世界上数量关系的工具。代数是搞清楚世界上数量关系的工具。怀特黑德怀特黑德当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。充分的快乐。- - -柯普宁柯普宁( (前苏联哲学家前苏联哲学家) )数学与计算机科学学院高等代数课件2第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8
2、有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式数学与计算机科学学院高等代数课件32.1 一元多项式的定义和运算一、教学内容 2.1.1 多项式的定义 2.1.2 多项式相等 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算 二、教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质。 三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运 算性质。数学与计算机科学学院高等代数课件42.1.1 多项式的定义定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式 指的是形式表达式其中n是非负整数而 都是数环R中的数。数学与计算机科学学院高等代数课件5在多项式中，叫做零次项或常数项 叫做一
3、次项 次项，叫做叫做次项系数数学与计算机科学学院高等代数课件6一元多项式常用符号 来表示。例如：都是x的多项式。规定：若是某个i次项的系数是1，那么这 个1可以省略不写；数学与计算机科学学院高等代数课件7问：下列各式是不是x的多项式？数学与计算机科学学院高等代数课件82.1.2 多项式相等定义2 若是数环R上两个一元多项式 f (x) 和g (x) 有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x)和g (x)就说是相等 。记为 f (x) = g (x)。例如：在一个多项式中，可以任意添上或 去掉一些系数为零的项。规定：数学与计算机科学学院高等代数课件9一个数环R上系数不全为零的多
4、项式可以唯一 地写成于是，我们可以对多项式引入次数的概念。数学与计算机科学学院高等代数课件102.1.3 多项式的次数的次数，叫做多项式 定义3的最高次项,非负整数n叫做多项式记作系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。零多项式没有次数。以后谈到多项式 的次数时， 总假定数学与计算机科学学院高等代数课件11我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减 法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它 们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式 相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多 项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。数学与计算机科学学院高等代数课件122.1.4 多项式的运算 一、多项式的加
5、法 给定数环R上两个多项式 并且设m n, f (x) 与g (x) 的和指的是这里当m n 时，数学与计算机科学学院高等代数课件13于是，可定义多项式的减法为求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。数学与计算机科学学院高等代数课件14二、多项式的乘法 给定数环R上两个多项式f (x) 与g (x) 的积指的是这里： 其中：数学与计算机科学学院高等代数课件15（1）加法交换律: （2）加法结合律: （3）乘法交换律: （4）乘法结合律: 注意：若把一个多项式按“降幂”书写当 时， 叫做多项式的首项. 求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。三、多项式运算法则数学与计算机科学学院高等代数课件16
6、四、多项式次数的运算性质 定理是数环R上两个多项式,并且 .那么 （i）当 时, （ii） 数学与计算机科学学院高等代数课件17证明: 且 那么 数学与计算机科学学院高等代数课件18由（1）， 的次数显然不超过n，另一方面，所以由(2)得 的次数是n + m . 数学与计算机科学学院高等代数课件19若是 那么由上面定理的证明得 证明 若是 中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得 或 推论1 数学与计算机科学学院高等代数课件20推论2 证明 由 得 但 所以由推论1必有 即 数学与计算机科学学院高等代数课件21当 是什么数时，多项式 （1）是零多项式？（2）是零次多项式？例2解 整理得数学与计算机科学学院高等代数课件22例3 求k,t使解 将左端两多项式相乘，原式可化为由两个多项式相等的定义可得解得数学与计算机科学学院高等代数课件232.1.5 多项式环 我们用Rx 表示数环R上一个文字x的多项式的 全体。并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的Rx 叫作数环R上的一元多项式环。练习数学与计算机科学学院高等代数课件24作业：P30:1、2
