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1、第十二章 计数原理第一节 计数原理与简单排列组合问题考纲解读1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2. 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题；3. 理解排列、组合的概念；4. 能用计数原理推导排列数、组合数公式.知识点精讲一、基本概念1.分类加法计数原理完成一件事图 12-1完成一件事图 12-23.排列与排列数从 个不同元素中取出 个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个排列，共有 种方法.规定 ，为的是使 成立.4.组合和组合数从 个不同元素中取出 个（不同）元素，并成一组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组
2、合，共有 种方法.题型归纳及思路提示题型160 分类计算原理与分步计算原理【例 12.1】现有 名老师， 名男生和 名女生共 人，有一项活动需派人参加（1）若只需 人参加，有多少种不同选法？（2）若需老师，男生，女生各 人参加，有多少种不同选法？（3）若需 名老师和 名学生参加，有多少种不同选法?【解析】（1）有 类选人的方法： 名老师中选 人，有 种方法； 名男生 中选 人，有 种方法； 名女生中选 人，有 种方法；由分类计算原理，共有 （种）选法.（2）分 步选人：第 步选老师，有 种方法；第 步选男生，有 种方法；第 步选女生，有 种方法；由分步计算原理，共有 （种）选法. （3）可分两
3、类，每一类又分两步，第 类：选 名教师和 名男生，因有两步，故有 （种）选法；第 类，选 名教师和 名女生，有两步，故有 （种）选法. 再由分类计数原理，共有 （种）选法.题型161 排列数与组合数的推导、化简和计算【例12.5】 （1）证明：（2）已知：【解析】（1） 不同元素中取出 个（不同） 元素按照一定顺序排成一列的不同排列的个数（即排列数）.如表 所示，需要 步完成排列任务. 表 12-1第一步（为位置 选择一个元素）有 种选法，第二步（为位置 选择一个元素）有 种选法， 第 步（为位置 选择一个元素）有 种选法，依分步计数原理，得（2） 为从 个不同元素中任取 个（不同）元素并成一
4、组的不同组合 的个数（即组合数）. 当 时，从 个不同元素中取 个（不同）元素按照一定的顺序排成一列，可以分成两步完成，第一步从 个不同元素中任取 个元素并成一组，第二步把取出的 个元素按照一定的顺序排成一列，依分步乘法原理得：题型162 计数原理与排列组合问题的结合【例12.8】如图 所示，有 种不同颜色供选，要求 每块一种颜色，相邻两块不同色，共有多少种染色方法？【解析】如图 所示，记 种颜色为可以 开始染，有 种方法， 相邻，不同色，所以 有 种方法， 均相邻，有 种染法，最后剩 此时要注意分类讨论，如图 所示， 同色时， 有 种染法； 与 不同色时， 有 种染法，即 共有 种方法.综上共有 种染色方法.图 12-8图 12-9
