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1、图像变换问题的提出：在图像处理中，对图像信息进行变 换的目的是：简化处理，因此必须满足 以下三个要求： 1）变换必须是可逆的。 2）变换必须是有好处的。 3）变换算法必须是不复杂的。什么是图像变换n将图像看成是线性叠加系统n图像在空域上相关性很强n图像变换是将图像从空域变换到其它域 如频域的数学变换n常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变 换、小波变换、离散K-L变换连续函数集合的正交性n正交函数集合当C=1时，称集合为归一化正交函数集合 正交函数集合的完备性 若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为：对任意小的0，存在充分大的N，其中，则称函数U集合是完备的。 离散
2、情况nn个正交向量当C=1时，称归一化正交 满足 ：一维正交变换 对于一向量f，用上述正交矩阵进行 运算： g = Af若要恢复f，则以上过程称为正交变换。余弦型变换n余弦型变换是指将信号分解为基波 为不同频率的余弦信号的线形组合 。由于这是时频变换的设计思想 ，所以又称为时频变换。傅立叶变换n傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换n60年代出现快速傅立叶变换n傅立叶变换域也称为频域傅立叶变换有两的好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。傅立叶积分 调谐信号：其中j2=-1 傅立叶积分：其中t代表时间，f代表频率傅立叶变换的定义(一维) f(x)为连续可积函
3、数，其傅立叶变换定义为：其反变换为：F(u)=R(u)+jI(u)幅度谱：相位谱：变换分析的直观说明把一个信号的波形分解为许多 不同频率正弦波之和。一维傅立叶变换举例方波信号：经过傅立叶 变换后：一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：二维傅立叶变换 二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来 ：逆变换 ：幅度谱 ：相位谱 ：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)二维傅立叶变换举例 对于二维方波信号傅立叶变换为：幅度：二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相谱：二维离散傅立叶变换的性质 1. 线性性质：2. 比例性质：3. 可分离性
4、：4. 空间位移：5. 频率位移：图像中心化：当u0=v0=N/2时，6. 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7. 共轭对称性：8. 旋转不变性：9. 平均值：10. 卷积定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)11. 相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y) F(u,v)G*(u,v)f(x,y)g*(x,y) F(u,v) OG(u,v)自相关：f(x,y)Of(x,y) |F(u,v)|2|f(x,y)|2 F(u,v) OF(u,v)12. 帕塞瓦定理（能量定
5、理）：若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：可分离性频率位移性质当图像在频率域移动时需要用到频率位移性质：图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移 到u0=v0=N/2的位置上周期性和共轭对称性 周期性不难证明。共轭对称性：两边取共轭(f(x,y)为实函数)：周期性和共轭对称性的应用 1. 图形的频谱分析和显示2. 图像中心化旋转不变性 以极坐标表示x, y, u, v：f(x,y)和F(u,v)可由f(r,)和F(w,)来表示 ，代入傅立叶变换的公式，可以得到：平均值 平均值定义：由傅立叶变换定义：因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为 ：6.1二维离散傅
6、立叶变换（DFT）正变换：反变化 ：快速傅立叶变换（FFT ）快速傅立叶变换（FFT ）快速傅立叶变换（FFT ）因为：8=4+4；4=2+2；2=1+1 所以：FFT的设计思想是将原函数分类为奇数和 偶数，通过不断的两数相运算最终得到需要的结果。 下面我们以8个数的FFT为例加以说明：快速傅立叶变换（FFT ）偶数区基数区快速傅立叶变换（FFT）6.1 二维离散傅立叶变换（DFT ）n因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换， 即：所以我们可以对其进行2次的FFT变换。6.1 二维离散傅立叶变换（DFT ）n傅立叶变换系数的应用变换系数刚好表现的是各个频率点上 的幅值。在小波变换没有提出
7、时，用来进 行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频 反映轮廓的特性。往往认为可将高频系数 置为0，骗过人眼。6.1 二维离散傅立叶变换（DFT ）n傅立叶变换在卷积中的应用:从前面的图像处理算法中知道，如果 抽象来看，其实都可以认为是图象信息经 过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化 滤波等）。如果滤波器的结果比较复杂时 ，直接进行时域中的卷积运算是不可思议 的。6.1 二维离散傅立叶变换（DFT ）6.2 离散余弦变换（DCT ）n傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当 于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能 的变换。在此期望下，产生了DCT变换。余弦变换
8、n当f(x)或f(x,y)为偶函数时，变换的计算公式只 有余弦项。n一个任意函数采样从0,1,2,N-1，若向负方向 折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的 偶函数傅立叶变换。n余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法6.2 离散余弦变换（DCT）一维余弦变换 离散序列f(x), x = 0, 1, 2, , N-1，以-1/2为折点，形成-N至-1的序列，与 原序列合并形成2N偶函数序列，此时的变换核为：离散傅立叶变换的虚部为零，上式剩下余弦项6.2 离散余弦变换（DCT） 余弦变换为： 归一化后： 矩阵形式：6.2 离散余弦变换（DCT） 一维余弦变换的反变换为： 矩阵形式：6.2 离散余弦
9、变换（DCT）二维余弦变换 偶对称偶函数： 为关于(-1/2, -1/2)对称的偶函数。6.2 离散余弦变换（DCT） 根据对称点的傅立叶变换，可得余弦变换为： 表为矩阵形式： 反变换为： 反变换矩阵形式：6.2 离散余弦变换（DCT） 归一化(使得基向量的模为1)： 偶对称偶函数的变换核的基函数正交 核可分离 余弦变换的能量向低频集中6.2 离散余弦变换（DCT） 奇对称偶函数： 折叠镜像序列。6.2 离散余弦变换（DCT） 上述折叠函数的傅立叶变换：6.2 离散余弦变换（DCT） 上式归一化后即为奇对称函数的余弦变换： 反变换： 这个变换同样也是正交的和可分离的，可以用两次一维变换来执行6
10、.2 离散余弦变换（DCT） 正变换矩阵为： N=4时6.2 离散余弦变换（DCT）余弦变换的性质 余弦变换为实的正交变换CC*，C-1=CT。 序列的余弦变换是DFT的对称扩展形式。 余弦变换有快速变换，和傅立叶变换一样，分奇偶组：此处：6.2 离散余弦变换（DCT）6.2 离散余弦变换（DCT）6.2 离散余弦变换（DCT）正变换：逆变换：其中：6.2 离散余弦变换（DCT ）nDCT变换的应用：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分 。余弦变换主要用于图象的压缩，如目前的 国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT 变换。具体的做法与DFT相似。给高频系 数大间隔量化，低频部分小间隔量化。
11、6.3 离散哈特利(Hartley)变换（DHT）n它是被引入用来替代傅立叶变换的，较 之傅立叶变换，有一个优点是它是实数 ，因此，在计算时避免了复数运算，大 大减小了计算量。6.3 离散哈特利(Hartley)变换（DHT ）n正变换：n逆变换：6.3 离散哈特利(Hartley)变换（DHT ）我们可以看到：正、逆变换是相同的， 这就为实现上提供了方便。其中 ：6.3 离散哈特利(Hartley)变换（DHT ）nDHT在卷积运算中的应用为偶分量，为奇分量。即:卷积运算较DFT复杂，如果F(x)是偶函数,则计算可简化 。方波型变换前面的变换都是正(余)弦型变换， 下面介绍的变换的基波都是方
12、波的变形 。通常这种变换的计算速度很快，这主 要的原因是因为其中的许多乘法操作都 非常简单。6.4 哈达玛(Hadamard)变换Hadamard变换的核矩阵中只有+1和-1元素 。它要求图象的大小是 ， 。对于 的大小，核矩阵为：类推有：6.4 哈达玛(Hadamard)变换n例如：N=8时，有：每一行 的符号 的变化 次数称 作这个 行的列 率。6.5 沃尔什（Walsh）变换n我们从Hadamard变换知道：它的构造 是由小块堆积成大块的。但是分析其 列率就知道其排列是无规则的。n将无序的Hadamard核进行列率的排序 ，之后得到的有序的Hadamard变换就 成为沃尔什（Walsh）
13、变换。6.6 沃尔什（Walsh）变换Walsh变换核为：6.7 卡胡南-列夫变换（K-L变换 ）n设 是一幅 的图像。做一个向量为 ：是 的均值， 是其协方差。A是由 的特征向 量构成的正交矩阵。K-L正变换：K-L反变换 ：6.7 卡胡南-列夫变换（K-L变换）K-L变换的压缩原理：由于A是按照特征值的大小顺序排列的特征 向量构成的变换阵，特征值小的部分对图 像的影响不大。取最大的K个特征值所对应的特征向量构成 的矩阵为变换阵 。有：6.7 卡胡南-列夫变换（K-L变换 ）6.7 卡胡南-列夫变换（K-L变换 ）nK-L变换在遥感多光谱图像中的应用：实质上是利用了K-L变换的降维能力来进行
14、压缩 的。例如，一幅1000*1000的24通道的多光谱图象可 以被看成106个24维随机向量集合。由于一幅多光谱图象的不同谱带间通常存在很大 的相关性，所以24个特征值中有许多的值非常 小。这就意味着一组24幅单色图可以仅用少量 主分量图来表示。6.8 （奇异值分解）SVD变换设 的图像为给出一个酉变换的话 ： 正变换：反变换 ： 不妨假设 ， 的秩为r 。 为的对称阵 ，为的对称阵 。6.8 （奇异值分解）SVD变换所以我们可以找到r 个非零特征值对应的特征向量 ui和vi，满足下式：ui是M维向量，vi是N维向量。6.8 （奇异值分解）SVD变换设ui是 的特征向量（M维），按下式得到N 维向量vi。 则vi是 的特征向量 。所以就有：即 ：6.8 （奇异值分解）SVD变换1。如果F存在一些为零（或很小的）特征 值，对应的元素中较小的值，忽略它们 可以用来实现“有损”压缩。6.8 （奇异值分解） SVD变换2。由于至多只有r个非零元素，这样至少 可以获得大于N倍的无损压缩，这一点是因 为，对每一幅图象来说，U,和V是唯一的， 对于一组类似的图象来说，也可以只（近似 地）使用同一对U,V阵。（如：对于动态图 象的相近时刻的图象组）傅立叶变换示意图返回
