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1、第六模块数列第二十七讲数列的概念与简单表示法回归课本1.数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n)的函数,即当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一系列孤立的点,数列的一般形式为a1,a2,an,通常简记为an,其中an是数列an的第n项,也叫做通项.2.数列的通项公式一个数列an的第n项an与序号n之间的关系,如果可以用一个式子an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.数列的通项公式是研究数列的最佳载体,因此确定一个数列是否有通项公式,以
2、及如何求出这个通项公式,是解决数列问题的关键.求通项公式的常用方法有:观察分析法累差法累商法和公式法等.3.数列的表示方法从函数的观点看,数列的表示方法有:列表法图象法解析法.4.数列的分类(1)按照项数是有限还是无限来分:有穷数列无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系来分:递增数列递减数列常数列摆动数列.(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列无界数列.5.数列an与Sn之间的关系Sn=a1+a2+a3+an,an=6.数列的递推公式如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第2项起(或某一项)任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么
3、这个公式就叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列,递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式.考点陪练1.(2010安徽)设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A2.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列 的第k项为D.数列0,2,4,6,可记为2n解析:根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确;D项2n中的nN*,故不正确;C中an=ak=答案:C3.已知数列an的通项公式是an=
4、,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:解法一:an+1-an= ,an+1an,数列an为递增数列.答案:A4.设数列an中,a1=1,n2,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=( )分析:从理论上说,如果已知数列的首项和递推公式可以求出这个数列的任何一项,但当序号较大时,利用递推公式来求是很麻烦的,从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更为深刻,当序号较小时可用解法二,如果由递推公式能很快地推导出通项公式,还是用通项公式来求解,这样能使得计算简捷准确.解析:解法一:由已知a1a2a3an=n2得an= ,n2,nN*,将a1a2an-1=(n-1)2,
5、n3,nN*,代入an得an= (n3).当n=2时适合此式,当n=1时不适合此式.an= a3+a5= ,选A.解法二:当n=2时,a1a2=4,a2=4.当n=3时,a1a2a3=9,a3=当n=4时,a1a2a3a4=16,a4=当n=5时,a5= ,a3+a5= ,选A.答案:A5.数列an中,a1=1,a2=2,当nN*时,an+2等于anan+1的个位数,若数列an的前k项和为243,则k=()A.61B.62C.63D.64解析:依题意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,数列
6、an除第一项外,其余的项形成以6为周期的数列,且从a2到a7这六项的和等于24.注意到243=1+2410+2,因此k=1+610+1=62.故选B.答案:B 类型一由前n项探索数列的通项公式解题准备:观察法就是观察数列的特征,找出各项共同规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定出数列的通项.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:(1)分式中分子分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳联想.注意:一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一.【典例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式.(1)1,0,1,
7、0,;(2)1,1,2,2,3,3,;(3) ,.(3)奇数项为负,偶数项为正,故选用(-1)n确定符号.由观察知分子为2n,而分母为两个连续奇数的积即(2n-1)(2n+1).an=(-1)n反思感悟由给出的前n项求通项公式时,常由数列的各项中的有关元素与项数之间相关变化归纳出规律,并对找出的规律加以验证.这种问题显然较简单且单纯,此类题型在高考题中也少有出现,但它是“猜想证明”的前提,在高考中占有很重要的地位.类型二简单的数列递推公式解题准备:已知数列的递推公式求通项,可把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或
8、等比数列的通项问题;对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法;对于形如 =g(n)的递推公式求通项公式,只要g(n)可求积,便可利用累积的方法或迭代的方法;对于形如an+1=Aan+B(A0且A1)型递推关系求通项公式时,可用迭代法或构造等比数列法.【典例2】根据下列条件,写出数列的通项公式:(1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1.分析(1)将递推关系写成n-1个等式累加.(2)将递推关系写成n-1个等式累乘,或逐项迭代也可.解(1)当n=1,2,3,n-1时,可得n-1个等式.an-an-1=n-1,an
9、-1-an-2=n-2,a2-a1=1,将其相加,得an-a1=1+2+3+(n-1).an=a1+类型三数列的单调性解题准备:数列的单调性是高考中经常考查的内容,有关数列的最大(小)项、数列的有界性等问题,都可以借助于数列的单调性来研究,必须牢固掌握这类问题的解决方法.这些方法主要有a作差法;b作商法;c利用数列或函数的单调性等方法.【典例3】已知数列an的通项an=(n+1)( )n(nN+).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.分析因an是n的函数,难点在于an是一个一次函数(n+1)与一个指数函数( )n的积.所以从一次函数或指数函数增减性看,
10、一增一减积不确定.但nN+,不妨试从比较an与an+1的大小入手.解an+1-an=(n+2)( )n+1-(n+1)( )n=( )n .当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-ana11a12,数列an的最大项是a9或a10,其值为10( )9,其项数为9或10. 反思感悟由通项公式研究数列是常用方法,此时要注意数列是一类特殊的函数,要重视函数思想方法的运用和函数性质的应用.类型四利用Sn与an的关系求通项公式解题准备:an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是n2,求an时切勿漏掉n=1的情况;利用an与Sn的关系可以消去Sn
11、得到关于an与an-1的关系,也可以消去an得到Sn与Sn-1之间的关系,借助递推关系的特点构造等差或等比数列,前者可直接求出通项an,后者求出Sn后再利用an与Sn的关系求an即可.8an=(an+an-1+4)(an-an-1),(an+an-1)(an-an-1-4)=0,an0,an+an-10,an-an-1-4=0,即an-an-1=4,数列an为等差数列,且公差d=4,又a1=S1= ,a1=2,an=2+4(n-1)=4n-2.【典例1】已知数列an的前n项和Sn=n2-4n+1,则|an|=_.错解由题意得:an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-(n-1)2-4(n-1)+1
12、=2n-5.则|an|=|2n-5|.剖析未验证n=1时,a1=S1是否适合当n2时的解析式,适合合并,否则,分段来写.错源二方法理解不到位剖析本题的错误原因是忽视了a1+3a2+3n-2an-1= 中n2,使得计算过程中出现了考虑不全面的错误.名师技法练智力求解数列递推式通项的6种类型与方法求数列的通项公式是数列知识的一类基本题型,是进一步研究数列性质的前提,因此是高考数列知识考查的重点内容之一.研究近几年的高考命题,我们可以归纳出求解这类问题的基本思想主要是把问题转化成等差数列或等比数列,而转化的常见方法有两种:一种是通过变形把问题转化,另一种是通过构造把问题转化.下面我们列举几种常见数列
13、递推式的类型,希望能给同学们提供解答这类问题的基本方法.技法一an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,(pq(p-1)0)或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均为常数)技法二an+1=an+f(n)把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用叠加法(逐差相加法)求解.技法三an+1=f(n)an把原递推公式转化为 再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.技法四an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t= ,再利用换元法转化为等比数列求解.【典例4】已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3,求a
14、n.解设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且bn是以b1=4为首项,2为公比的等比数列,bn=42n-1=2n+1,即an=2n+1-3.技法五an+1=pan+an+b(p1,0,a0)这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为an+xn+y是公比为p的等比数列.【典例5】设数列an满足a1=4,an=3an-1+2n-1,(n2),求an.技法六an+1=parn(p0,an0)这种类型一般是等式两边取对数后转化为an+1=pan+q,再利用待定系数法求解.【典例6】已知数列an中,a1=1,an+1= a2n(a0),求数列an的通项公式.
