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1、第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.2.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.3.函数的性质（1）单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1,x2,且x1f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数）.（2）奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都 有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成
2、立，则f(x)为偶函数）.（3）周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x);T是不为零的最小正数.一般地，若T为f（x）的周期，则nT（nZ）也为 f(x)的周期，即f(x)=f(x+nT).（4）最值一般地，设函数y=f（x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I,使f(x0)=M，那么称M是函数y=f(x)的最大值（最小值）.4.函数单调性的判定方法（1）定义法：取值，作差，变形，定号，作答.其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解.（2）导数法.（3）复合函
3、数的单调性遵循“同增异减”的原则. 5.函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件.（2）对于定义域内的任意一个x， 若都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.若都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.若都有f(-x)-f(x）=0，则f(x)为偶函数.若都有f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数.6.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对对数函数 定义义形如y=ax(a0 且a1)的函数 叫指数函数 形如y=loga x(a0 且a1)的函数叫 对对数函数图图象定义义域Rx|x0 值值域y|y0 R过过定点（0，1） （1，0） 单调单调
4、性01时时，在R上单单 调递调递 增 a1时时,在(0,+）上 是单调递单调递 增 00时时，01 01时时，y0 a1,当x0时时， y1当x1,当x1时时，y0 当01,若仅有一个常数c使得对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程 logax+logay=c,这时a的取值的集合为 .思维启迪 将方程问题转化成函数，同时注意定 义域和值域.解析 logax+logay=c，logaxy=c （c0）.xy=ac,由于仅有一个常数c,使xa，2a时，y a,a2满足方程.因此a,a2应是函数在xa，2a时的值域（因为常数c只有一个，从而函数的定义域确定时，值域也是确定的).ax2a，且a1
5、，探究提高 题目中的方程是一个不定方程，其实质是一个函数（隐函数），求出这个函数的解析式是解题的突破口，解题的关键是理解“对于任意的xa，2a，都有ya，a2”指的是 “函数 在a，2a上的值域是a，a2的子集”，然后利用不等式理论及题意，求出常数a.答案 2变式训练1 （2009山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足 则f(2 009)的值为 （ ）A.-1 B.0 C.1 D.2解析 当x0时，因为f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1).f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x).f(x+6)=f(x).即当x0时，函数f(x)的周期是
6、6.又f(2 009)=f(3346+5)=f(5),由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C二、函数的性质例2 设kR，函数F（x）=f（x）-kx，xR.试讨论函数F（x）的单调性.思维启迪 本题可以分k=0，k0,k0中x1,k0中x0时,函数F(x)在 上是减函数,在上是增函数.对于F(x)=- -kx (x1),当k0时,函数F(x)在(1,+)上是减函数;当k4,x1
7、+x24,x1x2(x1+x2)-a0恒成立.即a16,只需a16即可，a的取值范围是（-，16.方法二要使f(x)在2，+）上是增函数，则f(x)0在x2，+）时恒成立.即 2x3-a0,a2x3恒成立.a(2x3)min,x2，+），2x3是增函数，（2x3）min=16，a16.方法三 令f (x)0，则即f(x)的递增区间为要使f(x)在2,+)上是增函数，则三、函数的图象及其应用例3 设函数 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程f(x)=x的解的个数. 思维启迪 由两个已知条件求出b,c，再利用函数 图象或解方程求解.解 方法一 由f(-4)=f(0),f(-2)
8、=-2,方程f(x)=x等价于 即x=2,或x=2,或x=-1,或x=-2,即f(x)=x有3个解.方法二 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2.图象如图所示.方程f(x)=x解的个数即y=f(x)与y=x图象的交点个数.由图知两图象有A、B、C三个交点,故方程有3个解.探究提高 函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错.变式训练3 已知 则下列函数的图象错误的是 （ ）解析 函数f(x)= 的图象如图所示
9、.函数f(x-1)的图象只需将y=f(x)的图象向右平移一个单位，故A正确；函数f(-x)的图象只需将y=f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；函数f(|x|)的图象只需将y=f(x)的图象y轴右侧图象不变，左侧部分图象与右侧部分关于y轴对称，故C正确；由于函数 恒大于零，故|f(x)|的图象与y=f(x)的图象相同，故D项错误.答案 D四、基本初等函数问题例4 已知函数 若f(x0)2,则x0的取值范围是 .思维启迪 本题可以分x00和x00两种情况讨论，分别得到简单的指数、对数不等式，再根据幂和对数运算性质转化为同底数幂值、对数值比较大小，最后用指数、对数函数单调性求解.解析 当x00时，
10、f(x0)2化为当x00时，f(x0)2化为log2(x0+2)2,即log2(x0+2)log2 4,x0+24,x02, x0的取值范围是（-，-12，+）.答案 探究提高 (1)熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决此类题目的关键.（2）要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中的应用.（-,-12,+)变式训练4 已知周期为2的函数f(x)是奇函数，当x（-1，0）时，f(x)=-2-x，则 的值为.解析 (-6,-5),设-60.故f(x0-4)为正值. 规律方法总结函数是反映客观世界中两个变量的依存关系的数学模型.1.定义域、值域和对应法则是决定函数的三个要素 ，是一个整体，研究函数问
11、题时务必要“定义域优先 ”.2.单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同 的区间上可以有不同的单调性. 函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不 等关系可以“正逆互推”. 判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.对 于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增（减 ）函数的和函数仍为增（减）函数.3.函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径.4.函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题.5.函数图象的对
12、称性（1）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称.（2）若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象 关于直线 对称.（3）若函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x)，则该函数图象关于点（a,b）成中心对称.6.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.7.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决
13、与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可.8.注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.一、选择题1.（2009四川文，2）函数y=2x+1（xR）的反函 数是 （ ） A.y=1+log2x(x0)B.y=log2(x-1)(x1)C.y=-1+log2x(x0)D.y=log2(x+1)(x-1)解析 函数y=2x+1,当x R时，y0,x+1=log2y,x=-1+log2y. f-1(x)=-1+log2x(x0).C2.已知函数f(x)=ax (a0且a1)在区间-2，2上的函数值总小于2,则
14、log2 a的取值范围是 （ ）A. B.C. D.解析C3.（2009辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间0,+）上单调递增，则满足 的x的取值范围是 （ ）A. B. C. D.解析 方法一 当2x-10,即 时，因为f(x)在0，+）单调递增，故需满足 即所以当2x-10,则f(x)的单调递增区间是( )A.(-,1) B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)解析 设u=|x+1|,如图所示.当x(-1,0) 时,u(0,1),由f(x)恒大于0,知00时函数为减函数，故选A.A二、填空题6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)= 当2x3时，f(x)=x,则f(1.5)= .解析2.57.(2009徐州三模)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a),对于任意x2,当x0时,恒有f(x+x) f(x)，则实数a的取值范围是 .解析 当x2,+）且x0时，恒有f(x+ x)f(x),即当x2，+）时，f(x)为单调增函数.二次函数g(x)
