一类延迟及非延迟系统的耦合动力行为研究

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1、华中科技大学硕士学位论文一类延迟及非延迟系统的耦合动力行为研究姓名：汪潇端申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：杨晓松20080423华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1摘摘 要要 国内外学者专家对动力系统的研究一直是保持很高的热情，研究也相当深入。研究表明，高维动力系统可以看成由若干简单子系统通过一定的方式耦合而成。随着研究的深入，人们发现，动力系统模型越来越复杂，特别是系统维数的升高，会给研究带来很大的困难。由此产生一个想法，复杂的高维系统可以由简单子系统耦合而成，那么能否通过子系统以及子系统耦合关系的研究，给复杂高维系统研

2、究带来某种启示。高维系统有稳定或不稳定的动力行为的低维子系统，这些低维子系统之间的相互作用，对高维系统的动力行为有怎样的影响，是本文研究的主要问题。 本文通过研究两个子系统的耦合， 来研究系统耦合对高维系统动力行为的影响。首先，介绍了一类神经网络的模型，通过数值模拟，采用不同的耦合矩阵，对其耦合而成的高维系统的动力行为进行分析。研究发现，若干具有混沌动力行为的神经网络系统经过一定方式的耦合， 构成的高维系统会产生周期性的稳定行为。其次，对上述模型添加延迟因子，对延迟耦合动力系统进行数值分析。研究表明，不稳定的延迟动力系统耦合后，高维系统也会出现周期性的稳定行为。最后以弹簧振子为例，对弹簧振子系

3、统耦合进行研究。首先通过李雅普诺夫第二定理证明了弹簧振子系统的渐近稳定性，然后采用一定方式的耦合，观察耦合而成的系统的动力行为。研究发现，渐近稳定的弹簧振子系统，经过耦合以后，整个系统出现了稳定的周期性动力行为。 关键字：关键字：动力系统 子系统 动力行为 耦合 数值模拟 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract Scholoars and experts have been maintaining a very high level of enthusiasm to the study of dynamic sys

4、tem. The research about it shows that dynamic systems could be coupled by a number of simple subsystems through a certain way. However, as the in-depth study, people find that it becomes more difficult to study those systems when their demensions increase. So there was a idea that whether or not peo

5、ple could study the complex system through subsystems and relations between them, because complex systems could coupled by simple subsystems. What kind of changes and impacts to the system would produce after the coupled. It worths thinking. This paper would study dynamic behavior of the complex sys

6、tems that coupled by simple subsystems(two or more). So we want to find that subsystems that have different dynamic behavior(stable or unstable), would produce what kind of impacts to the coupled system. First, we intruduce a neural network model, and analyse the big coupled system using different c

7、oupling matrix by numberical simulation. We find that the system coupled by some chaotic neural ones would generate steady and periodic behavior. Second, we add delay factor to the above model, and find that the big system also generates steady and periodic behaviors by numerical simulation. At the

8、last, we take the spring oscillator as a example to show the dynamic behaviors of the coupled system. We also find that the coupled spring oscillator has periodic orbit. Key words: Dynamic system; Subsystem; Dynamic behavior; Couple; Numerical simulation. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位

9、论 文 1独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有

10、关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 绪论绪论 1.1 研究背景研究背景 非线性系统耦合的合作行为有多种多样的表现形式， 很多科学家在此领域有 深入的研究。对这一问题的探讨涵盖了自然科学、工程的许多领域，甚至社会科 学中的一些行为。许多具体问题如摆钟、乐器、电子器件、激光、生物生态系统、 神经、心脏等都

11、有非常具体的耦合现象17-19。 耦合非线性系统最基本的现象之一是同步19,23，该现象早在 1673 年就由荷 兰研究者惠更斯38发现。他观察挂在墙上的两个不同的摆钟时，发现它们会保 持反相摆动（同步） 。进入 20 世纪以来，同步现象被人们广泛关注，其理论方面 也有更为系统的研究，其中混沌系统的同步问题较为热门。1990 年，美国海军 实验室的 Pecora 与 Carroll 小组在物理学评论快报发表了两个耦合混沌振子的同 步概念和现象以后，对混沌同步的研究热潮蓬勃展开39-40。在他们工作当中，第 一次明确阐述并引入了混沌同步的概念，并讨论了混沌同步轨道的稳定性。 世界气候研究计划（W

12、CRP）19851994 年关于热带海洋和全球大气研究34 重点就是， 以海洋大气耦合总用驱动的热带和副热带太平洋的厄尔尼诺和南方 涛动对研究和发展季节尺度的实用气候作出预测27。该计划从气候系统的角度 研究海洋环流的主要观测事实，基于理论和数值模拟方法，通过对海洋环流和海 气耦合系统数值模拟，对气候进行预报，有显著的效果。 神经网络模型13是近十年来研究的大热门。 神经信息处理机制往往涉及到各 个神经元相互作用所产生的耦合行为。通过理论分析和数值模拟，研究者在其中 发现了混沌现象4,5。虽然研究者发现简单神经网络模型中有大量的不稳定的现 象出现6-12，但是神经网络整体却呈现稳定的动力行为3

13、5，在参考文献1中，作 者向大家展示了其研究成果。本文将在此基础上做进一步的探讨。 1.2 系统耦合研究现状系统耦合研究现状 很多学者在系统耦合研究领域中做出卓有成效的工作1-6。 本文主要研究神经网络系统8-13耦合，着重介绍此领域的工作。在参考文献1中，关于神经网络系统耦合，作者做了深入细致的分析。作者主要是对两个神经网络模型进行分析和 研究，模型如下： . tanh( )tanh( ),xyxxWxVy= + . . tanh( )tanh( ),yxyyWyVx= + 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2其 中xW和yW是

14、两 个3 3矩 阵 ，xV和yV也 是 两 个3 3矩 阵 ，123tanh( )(tanh(),tanh(),tanh() ,Txxxx=123tanh( )(tanh(),tanh(),tanh()Tyyyy=。 参考文献1主要采用的研究方法为通过对耦合矩阵xV和yV系数的变换，也就是改变耦合强度，观察不同的耦合矩阵对系统的影响。论文采用的耦合矩阵主要有00000 000xyVVp =，000000 00xyVV p =和00000 000xypVV =等，通过对p以及初值的不同选取，进行数值模拟研究。参考文献1指出，耦合前，子系统是不稳定的，甚至是混沌的，数值模拟表明系统在一定的初始条件

15、下，子系统出现了混沌吸引子；通过计算其李雅普诺夫指数也进一步的表明子系统是混沌的。经过一定方式的耦合（采用上述的某个耦合矩阵以及不同的p值） ，构成的高维系统出现了稳定性的周期解。参考文献1经过大量的分析和数值模拟，向读者阐述了耦合对系统动力行为改变的道理。 文章向大家提供了研究高维系统的一种方法， 并且进一步指出系统耦合的科学意义， 对读者工作有很好的指导意义。本文受到参考文献1的启发，在其基础上做出了一些试探性的研究，主要研究延迟动力系统耦合后的动力行为。在其作者的指导下，本文又对弹簧振子系统耦合进行研究，观察弹簧振子耦合后的动力行为。 1.3 本文主要工作以及内容安排本文主要工作以及内容安排 本文首先介绍了非线性动力系统、李雅普诺夫指数等基本概念，为论文的展 开做铺垫。通过数值模拟，对参考文献1中的模型，采用不同于文中的耦合矩 阵，对系统耦合进行研究。在上述模型的基础上，添加延迟因子，对比参考文献 1，进行比较性的研究。最后，采用现实生活中的模型，以弹簧振子为例进行 研究，从而加深对系统耦合的科学意义的认识。 本文的内容安排如下： 第二章首先介绍了参考文献1中的模型，通过数值模拟，采用与之不同的耦 合矩阵，进行对比性的研究。本文采用的耦合矩阵主要有： 100000 000xVp =且200000 000yVp =，1000000 00xV p =且2000000 0