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1、例 求图示单边指数函数 的频谱。 解：由式有 于是 图 单边指数函数e-at (a0)图 单边指数函数e-at (a0)的频谱 小结： 一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐 波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2f的系数， 决定着信号的振幅和相位。 X(f)或X()为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其 写为 将上式中的 (或 ，当变量为 时）称非周期信号x(t)的幅值谱， (f)（ 或()）称x(t)的相位谱。 周期和非周期信号幅值谱的区别 |X ()|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱； |Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振 幅)，而|X ()|
2、的量纲相当于|Cn|/，为单位频 宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振 幅/频率）。 非周期信号幅值谱|X ()|与周期信号幅值谱|Cn| 之间的区别： 一、傅里叶变换的性质 对称性（亦称对偶性） 尺度变换性 时移性 频移性 卷积 1.对称性 若:(时域信号) x(t) X() (频域信号)，则 X (t) x (-) 2.尺度特性 若x(t) X()，则 x(kt) 1/|k|X(/k) 信号持续时间压缩k倍(k1)，则信号的频宽 扩宽k倍，而幅值变为原来的1/k。 k=1k=33. 时移性如果有则 例 求图所示矩形脉冲函 数的频谱 。 解：该函数的表达式可写 为可视为一个中心位于
3、坐标 原点的矩形脉冲时移至t0点 位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为 图 具有时移t0的矩形脉冲 如果信号在时域中延迟了时 间t0，其频谱幅值不会改变， 而相频谱中各次谐波的相移- 2 t0，与频率成正比。 4. 频移性 如果有 则 f0常数。图 x(t)cosf0t的频谱 5.卷积特性 对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为： 若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积 2.两个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2()时域卷积频域卷积证
4、明一（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得证明二：令卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研 究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换 域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。 在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用 关系在时间域就体现为卷积积分的关系 x(t)h(t) y(t)卷积的物理意义对于线性系统而言，系统的输出y(t)是任意输入x(t)与 系统脉冲响应函数h(t)的卷积。二、典型信号的傅里叶变换 只有满足狄里赫利条件的信号才具有 傅里叶变换，即 。 有限平均功率信号，它们在(-, )区域上的能量可能趋近于无穷，但 它们的功率是有限的，即满足利
5、用函数和某些高阶奇异函数的傅 立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换 。1.单位脉冲函数 在时间内激发有一矩形脉冲p (t)，的幅值为 ，面积为1。当0时，该矩形脉冲p (t)的极 限便称为单位脉冲(impulse)函数或函数。 性质： （1）（2）图 矩形脉冲函数与函数 (t)乘积性和积分性乘积性积分性(t)与其它信号的卷积 结果：x(t)与(t)的卷积等于x(t)。 函数的卷积特性1 结果：(tt0)时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的坐 标位置上重新作图 当脉冲函数为(tt0)时，与函数x(t)的卷积 函数的卷积特性2 (t)的频谱由逆变换： (t) 1 即：1() 函数的频谱 直流分
6、量的频谱 由对称性得：根据时移和频移特性 ：1e-j2to(-0) (t-t0) ej20tsin2ot=j/2(e-j2ot- ej2ot) cos2ot=1/2(e-j2ot+ ej2ot)sin2ot j/2(+0)-(-0) cos2ot 1/2(+0)+(-0) 根据 ej20t(-0) 正弦函数的频谱 2 正、余弦函数的频谱3 周期单位脉冲序列的频谱 相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数 式中，Ts周期，n整数， n=0,1, 2, 3,。 为周期函数，而s=1/Ts， 用傅里叶级数的复指数形式表示： comb(t)时域中，序列的周期为Ts，频域中，序列的周期为1/Ts。 时
7、域中，幅值为1 频域中，幅值为1/Ts 进行傅里叶变换： ej20t(-0) s=1/Ts，comb(f)comb(t)时域表达 式例:求被截取的余弦信号的频谱函数4、单位阶跃信号及其谱分析 （1）、定义阶跃信号u（t）可表示阶跃信号在跳变点t=0处，函数值未 定义，或在t=0处规定 。幅值1的阶跃信号称为单位阶跃信号 ，表示为10单位阶跃信号u(t)t（2）、频谱分析由于单位阶跃信号不满足绝对可积 条件，不能直接由定义给出其频谱，可把 它看成当 时的指数信号 在时 域上的极限，其频谱为 的频谱在 时的极限。单边指数信号在时域上可表示为其傅里叶变换为：其幅度谱、相位谱分别为单边指数信号与频 谱
8、x（t）t000将单边指数信号的频谱分解为实 频与虚频两部分设当 ，实频 和虚频 的极限分别为 和 ，有由以上三式可知， 为一种脉冲函数，且并有阶跃信号的频谱为由于阶跃信号中含有直流分量，所以阶 跃信号的频谱在 处存在脉冲，而且它在 t=0处有跳变，从而频谱中还有高频分量。三、 频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分 析中最常用的一种手段。案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析 ，确定各频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。 作业： P41 1-4 双边阶跃信号及其谱分析（图a）写出数学 表达式及画出幅频图 1-5提示：被截取的余弦信号=窗函数余弦信号 并且用频移定理 写出数学表达式及画出幅频图
