《数学分析中不等式的证明方法与举例论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析中不等式的证明方法与举例论文（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、分院名称：数学学院学生学号： 0907140132 长春师范大学 本科毕业论文（设计）（理工类）题目：数学分析中不等式的证明方法与举例专业：数学与应用数学作 者姓 名：指导教师姓名：指导教师职称：2013 年5 月长春师范大学本科毕业论文（设计）I 长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任. 论文作者签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制， 确认由作者独立完成 .如果存
2、在学风问题， 本人愿意承担指导教师的相关责任 . 指导教师签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）II 目录承诺保证书I 前言1 1 构造变限积分证明不等式1 2 利用函数单调性证明不等式2 3 利用微分中值定理证明不等式4 4 利用积分中值定理证明不等式6 5 利用泰勒公式证明不等式8 6 利用函数极值证明不等式9 7 利用函数凹凸性证明不等式11 8 利用幂级数展开式证明不等式12 9 利用著名不等式证明不等式13 参考文献16 致谢17 英文摘要18 长春师范大学本科毕业论文（设计）1 数学分析中不等式的证明方法与举例摘要 ：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分
3、析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义. 本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类. 同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式. 关键字 ：数学分析不等式证明方法 .前言不等式在数学的整个学习、 研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用. 在数量关系上， 虽然不
4、等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多. 直到1934年, 数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场 , 成为一门新兴的数学学科 , 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合 , 它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分. 20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮. 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果. 由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究. 综上所述 , 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达. 1 构造变限积分证明不等式长春师范大学本
5、科毕业论文（设计）2 定义：设)(xf在,ba上可积，对任何,bax,)(xf在,xa上也可积，于是，由dtfxxa(x)(，,bax，定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分. 类似地，又可以定义变下限的定积分：dtxfxbx)()(, ,bax, 与统称为变限积分 . 定理：若f在,ba上连续，则其变限积分作为关于x的函数，在,ba上处处可导，且)()()()(xfdttf dxdxfdttfdxdbxxa，, 更一般的有)()()()()()()(xhxhfxgxgfdttfdxdxgxh. 例1. 证明柯西不等式bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2
6、22. 证明：构造变上限辅助函数uauauadxxgdxxfdxxgxfu)()()()()(222. 显然)(u在,ba上连续，在),(ba内可导，且uauauadxxfugdxxgufdxxgxfuguf)()()()()()()()(2(u)2222uauauadxugxfdxxgufdxxgxfuguf)()()()()()()()(22222uadxugxfxgxfugufxguf)()()()()()(2)()(2222uadxugxfxguf0)()()()(2. 所以)(u在,ba上单调减少，则0)()(ab，即0)()()()()(222bababadxxgdxxfdxxgx
7、fb. 得到bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222. 长春师范大学本科毕业论文（设计）3 例2. 设)(xf在,ba上连续，且单调递增，试证明babaxfbadxxxf)(2)(. 证明：构造变上限辅助函数：dxxftadxxxftFtata)(2)()(. 显然0)(aF，对,bat，)(2)(21)()(tftadxxfttftFtadxxftfatta)( 21)(2dxxftfta)()(21, ),(tax. 因为)(xf单调递增，则0)(tF，则)(tF单调递增，所以0)()(aFbF,)(ab. 因此babaxfbadxxxf)(2)(. 2 利用函数单调
8、性证明不等式定理: 设函数)(xf在,ba上连续 , 在),(ba内可导 , 则有(1) 如果在),(ba内0)(xf, 那么, 函数)(xf在,ba上单调增加 . (2) 如果在),(ba内0)(xf, 那么, 函数)(xf在,ba上单调减少 . 例 1. 证明不等式：xex1，0x. 证明： 设,1)(xexfx则1)(xexf，故当0x时，0)(xf，)(xf严格递增；当0x，0)(xf，)(xf严格递减 . 又因为)(xf在0x处连续，则当0x时，0)0()(fxf. 长春师范大学本科毕业论文（设计）4 即01xex. 故得证0,1xxex. 例2. 证明 b1ba1aba1ba. 证
9、明：记xxxf1，则0 112xxf，所以xxxf1单调递增，于是由baba知)()(bafbaf. 即b1ba1aba1bba1aba1baba1ba. 3 利用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理 : 设函数 f 满足如下条件 : (1) f 在闭区间,ba上连续；(2) f 在开区间),(ba内可导，则在),(ba内至少存在一点，使得abafbff)()()(. 柯西中值定理 : 设函数 f 和g满足：(1) 在 , a b 上都连续；(2) 在( , )a b 内都可导；(3) )(xf和)(xg不同时为零；长春师范大学本科毕业论文（设计）5 (4) bgag，则存在ba, 使得)(
10、)()()()()(agbgafbfgf. 例 1设)(xf在,ba上有一阶连续导数，且0)(af，证明|)(|max2)(|)(|,2 xfabdxxfbaxba. 证明：令| )(|max ,xfM bax，由拉格朗日中值定理知)()()()(axfafxfxf. 从而,),(| )(| )(|baxaxMaxfxf. 所以MabdxaxMdxxfdxxfbababa2)()(| )(|)(|2 . 例2. 当0x时, 试证不等式xx xx)1ln(1. 证明: 构造函数)1ln()(xxf. 则在区间,0x上满足拉格朗中值定理 , 且xxf11)(. 故有)0)(1ln)1ln(xfx,
11、), 0(x. 即1)1ln(xx. 又),0(x, 则长春师范大学本科毕业论文（设计）6 xxxxx11)1ln(11. 即xxxx)1ln(1. 例 3. 设ea，20yx，求证aayxaaxxyln)cos(cos. 证明：令tatf)(，ttgcos)(, 由题设条件可知，)(),(tgtf在,yx)0(yx上满足柯西中值定理)()()()()()(gfygxgyfxf. 则)sin(lncoscosaayxaayx ,20yx. 故sin1ln)cos(cosaayxaaxy. 由于20，1sin0 , 则1sin1, 故xyaaaayxln)cos(cosaayxxln)cos(c
12、os. 由此得证aayxaaxxyln)cos(cos. 4 利用积分中值定理证明不等式积分第一中值定理： 若函数 f 在,ba上连续，则至少存在一点,ba，使得长春师范大学本科毕业论文（设计）7 babaabfdxxf)(),)()(. 积分第二中值定理：设函数 f 在,ba上可积， 若g为单调函数，则,ba，使得baab dxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(. 例 1设)(xf为 1 , 0上的非负单调非增连续函数（即当yx时，)()(yfxf），证明对于10, 有下面的不等式成立0)()(dxxfdxxf. 证明：由积分第一中值定理有)(),)()()(11ffd
13、xxf. )()(20fxf,)0(2. 从而dxxffdxxf)(1)()(10. 因此可得0)()()1(dxxfdxxf. 即0)()()1(dxxfdxxf. 又因10, 所以110, 故0)()(dxxfdxxf. 例2. 设)(xf在,ba上连续，且单调递增，试证明dxxfbadxxxfbaba)(2)(. 证明：要证该不等式只需证明长春师范大学本科毕业论文（设计）8 0)()2(dxxfbaxba. 由于)(xf单调递增，利用积分第二中值定理，则存在,ba，使babadxbaxbfdxbaxafdxxfbax)2()()2()()()2(bbadxbaxafbfdxbaxaf)2
14、()()()2()()(22)()(22 bbabafbf0)( 2)()(abafbf. 故0)()2(dxxfbaxba. 即dxxfbadxxxfbaba)(2)(. 5 利用泰勒公式证明不等式定理: 若函数)(xf在,ba上存在直至 n阶连续导函数，在),(ba内存在)1(n阶导函数 , 则对任意给定的x，,0bax，至少存在一点),(ba, 使得: )(xf)(0xf)(00xxxf2 00)(!2)(xxxf1 0)1( )(!)(nn xxnf. 例1. 设)(xf在 1 ,0存在二阶连续导数，0)1()0(ff，并且当)1 ,0(x时，Axf)(，求证：)1 , 0(2)(xA
15、xf，. 证明: 由于( )f x在0,1上有二阶连续导函， 因此对任何)1 ,0(0x，利用(1)f和(0)f在0x点的二阶泰勒公式可得,)1(! 2)( )1)( )() 1(2 01 000xfxxfxff)1 ,(01x. ,! 2)( )( )()0(2 02 000xfxxfxff),0(02x. 长春师范大学本科毕业论文（设计）9 由(1)(0)ff可得2 012 02 0)1(! 2)( ! 2)( )( xfxfxf.又Axf)(, 所以2 02 00)1 (2)( xxAxf. 而) 1 ,0(0x时,1)1(2 02 0xx，故2)(0Axf. 又由0x的任意性知)1 ,0(2)(xAxf，例2设)(xf在,ba上有二阶连续导数，|
