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1、第三冊 3-3 圓與球面方程式-球面方程式 【定義】 1. 球面的定義： 在空間中與一個定點O的距為一定r的所有點所形成的圖形，稱為球 面。其中的定點O稱為球心，距的定值r稱為半徑。 2. 球面的方程式標準式： 給定球心，半徑為正),(000zyxOr，則球面方程式為。 註：當球心在原點且半徑為22 02 02 0)()()(rzzyyxx=+)0 , 0 , 0(Or時，球面方程式為。 2222rzyx=+ 3. 球面的方程式一般式： 球面方程式均可化成形如，稱為球面的一般式。 註：注意此種形式並一定為球面。 22 02 02 0)()()(rzzyyxx=+0222=+gfzeydxzyx
2、4. 球面， 可以用配方法，將方程式化為 0222=+gfzeydxzyx44)2()2()2(222 222gfedfzeydx+=+的形式， (1)，則圖形為球面，球心在， 半徑為04222+gfed),(000zyx24222gfed+。 (2)，則圖形為一點，即點。 (3)，則沒有圖形。 04222=+gfed),(000zyx04222點在球面的外部。 PS 2. 直線與球面的關係： 球面與直線SL(空間中)的關係有三種： (1)交點。 (2)交一點。 (3)無交點。 註：用直線式代入球面方程式中求解即可得球面與直線的交點。 3. 平面與球面的關係： 設球面的球心為O，半徑為Sr，平
3、面E，球心在平面E上的投影點為T， 且球心到平面OE的距以表示。則： (1)當),(EOdrOTEO=),(時，球面與平面SE沒有交點， 稱平面E與球面相。 S1【公式】 1. 截面圓的性質： (1)球面被平面割的截痕是一個圓，這個圓稱為截面圓。 (2)截面圓的圓心與球心O之線必垂直於截平面。 (3)設球的半徑為Or，球心與截面的距為OOd =， 則截面圓的半徑為22dr。 O r d O【問題】 1. 球面與直線有交點，試問如何求出交點坐標？ 2. 過球面外一點與球面的最大距與最小距分別為何？ 3. 點在球面)3 , 1 , 2(A222210)()3() 1( :=+zyxS外部，則 (1
4、)從點A可引出多少條直線與球面相(恰交於一點)？ S (2)這些從A引出的線，可以形成何種幾何形體？ (3)這些點(在上)，可以形成何種幾何圖形？ S (4)如何計算A點到球面的線長？ S4. 222210)()3() 1( :=+zyxS在空間中的圖形是球面，則 (1)22210)3() 1(=+yx在坐標平面上的圖形為何？ (2)22210)3() 1(=+yx在空間中的圖形為何？ (3)空間中的圓要如何表示呢？ 5. 空間中球面的關係有哪些？試分成內、內、相交點、外、外等 情形分別討此球面半徑之間的關係。 解： 設球面球心分別為，半徑分別為，心線長21,SS21,OO21,rrdOO=2
5、1，則 (1)球面內：。 (2)球面內：|。 (3)球面相交點：|21rrd2【定義】 1. 大圓： 通過球心的平面與球面的交圓，稱為大圓。 註：大圓的半徑就是球的半徑。 2. 小圓： 過球心的平面與球面的交圓，稱為小圓。 3. 地軸： 地球自轉的軸，稱為地軸，是通過南極與極的線段。 4. 經線： 在球面上，過南極的半個大圓，稱為經線，規定以通過英國敦的格威 治天文台的經線為0經線，又稱本初子午線。 5. 經： 球面上某一點的經，就是經過這一點的經線和地軸所決定的平面，與 經線及地軸所決定的平面，此平面之夾角。通常以經線以西的經 線，叫西經線；經線以東的經線，叫東經線，其中的取值範圍為 至18
6、0。 0 0 006. 緯線： 在球面上與赤道平的圓(或與地軸垂直的原)，稱為緯線。 7. 赤道： 垂直於地軸的大圓，叫做赤道，是0緯線。 8. 緯： 球面上某一點的緯，就是球半徑與赤道所在平面的夾角。赤道以為緯 (0至)，赤道以南為南緯(至)。 90090 【性質】 1. 球面上相點最短的距： 任何地點(與球心O在同一直線上)，則三點決定一平面，此 平面與地球相交之圓是一個大圓，此大圓上接較短的圓弧，即為地表 上地間的最短距。 註：球面上相點最短的距稱為弧長，最長的距稱為優弧長。 BA,OBA, BA, BA,【公式】 1. 一代、一代公式： (1)設圓， 過已知點的線為 22 02 0)(
7、)( :ryyxxC=+ ),(11yxT 0)()(101101=+yyyyxxxx 0)()(0010100101=+yyyyyyxxxxxx 0)()()()(0012 010012 01=+yyyyyyxxxxxx0)()(0010012=+yyyyxxxxr2 001001)()(ryyyyxxxx=+3【公式】 1. 平面(一代、一代公式)： 當平面E和球面只有一個公共點時，我們稱平面SE和球面相且平面SE 稱為球的平面，此公共點稱為點。 (1)通過球面上一點的平面22 02 02 0)()()(rzzyyxx=+),(111zyxPE 之方程式為。 (2)通過球面上一點的平面2
8、001001001)()()(rzzzzyyyyxxxx=+0222=+gfzeydxzyx),(111zyxPE 之方程式為0)2()2()2(111 111=+gzzfyyexxdzzyyxx。 2. 過球面外一點求線段長： 設為球面外一點， (1)球面， 則過點的線段長為),(111zyxPS22 02 02 0)()()(rzzyyxx=+P22 012 012 01)()()(rzzyyxx+。 (2)球面， 則過點的線段長為0222=+gfzeydxzyxPgfzeydxzyx+1112 12 12 1。 註：用商高定即可證明，注意平方項係要為1才能代此公式。 【問題】 1. 如何求出地表上點間的最短距？ BA, 2. 過球面外一點可作多少線？ 3. 過球面外一點可作多少平面？ 4. 過球面外一點作平面，則所有點之軌跡在球面上形成截痕， 截痕會是麼圖形呢？會會是圓呢？ 4
