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1、1谈数与形的结合中小学教学中蕴藏着的数形结合思想摘要 数形结合，是数学教学中常用的一种方法，它能使复杂的问题简单化，抽象的事物直观化，教师讲解容易，学生也易于理解。数形结合有利于数感的培养，有利于算理的讲解，有利于思维的培养，有利于空间观念的形成。本文揭示了在小学数学中的数感，算术，思维和三维模型与初中数学的有理数、应用题、不等式、函数及其图象、统计初步、平面几何内容中所蕴藏着的数形结合思想。 关键词数形结合 数感算理 思维 空间观念2谈数与形的结合中小学教学中蕴藏着的数形结合思想数学家华罗庚说得好 :“数形结合百般好,隔离分家万事休 ,几何代数统一体,永远联系莫分离”.数学知识的教学有两条线
2、：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。随着新课程改革全面展开,各门课程的教材都发生着巨大的改变。面对改头换面的数学新教材,我们发现章节顺序变了,知识点重新整合了，书也变漂亮了,图形变多了， 以前的数学课程被分为“代数”和”几何”两本教材来讲授,而现在合二为一,且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算与处理, “几何”主要研究图形的位置、大小等特性, “数”和“形”是数学研究的两个侧面,它们互相渗透，相互转化,使得以代数法研究几何,以几何法研究代数成为可能。“数形结合”是初中数学的重要思想之一,也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来,那么
3、一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了此方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”,体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。青少年生活在社会和物质的世界中，周围环境中形形色色的物体均表现为一定的数量、形式，并以一定的空间形式存在着。从青少年心理学分析，他们善于运用直觉形象思维来解决问题，数学抽象思维是建立在大量的已知的形象思维的基础上而形成的。翻开新课程数学教材，一道道解决问题的应用题里的一组组对话，运用了漫画的小人书表现形式来表达，无论学生会不会解答，他们都把它当作好看的小人书来研究一番，这比老教材的单纯应用题能更吸引学生，这是一大进步。有了象漫画一样的解决问题的应用题学生也来兴趣了，解答时研究的印
4、象也深刻了，更能接受老师、同伴的解决思路。数形结合就是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种重要数学思想，着重借助图形来解题，以其直观、形象、简捷的形式来吸引学生。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的图形，从图形的结3构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在新课程的数学教学中， 数形结合的作用非常大，可以说是数学课堂中必不可少的教学手段。如何把解决问题的应用题解决方法进一步提炼成简单易懂的，直观的数形形式呢？这就要求结合数形图来分析。一、数形结合突出了数感的建立数是抽象的数学知
5、识，形是具体实物、图形、模型、学具。数和形是紧密联系的。数形对应是数形结合的基础，这种意识的养成主要是通过新授课阶段的学习逐步领悟和掌握的。学生只有先从形的方面进行形象思维，通过观察、操作，进行比较、分析，在感性材料基础上进行抽象，才能获得数的知识。所以在低年级的数学课堂教学中，数形结合是常用的手段之一，因为它能有效地为毫无数字概念的孩子建立数感。一般认为 20 以内甚至 100 以内的数学生大多会读会写，因此往往忽视教学过程中的动手操作。事实上，操作恰恰是生成数感的有效途径。例如在教学 20 的认识时，教师既要演示又要请学生亲自动手用摆小棒的方法从 11 数到 19，然后用稍稍缓慢的动作清楚
6、地演示出 19 根小棒添上 1 根是 1捆加十个 1 个，再将 10 个 1 根捆成 1 捆，这样就是 2 捆，即 2 个 10 根，也就是 20 根。这样的过程使学生清楚地感受到 20 是在 19 的基础上添上 1 生成的，这对后面 30、40、50 等整十数的认识有很强的提示作用。而 100 的认识更要让学生通过数小棒经历 99 添上 1 就是 10 个十，10 个十是 1 个百即 100 的生成过程，从而体会两位数向三位数的变化，明白数位的顺序及各数位的价值。物和数的对应加深了学生对数的理解，突出了学生数感的培养。二、数形结合突出算理讲解。在数学教学中，加强数与图形的结合，能加深学生对知
7、识的理解，能有效防止学生学习数学“一知半解”,防止出现“隔靴搔痒”的教学现象。应用数形结合，是解决问题过程中的一种策略，是数学规律性、灵活性的融合。教师应帮助学生通过具体问题的解决，归纳出知识的系统性和规律性，并在此基础上拓宽延展，使学生的思维能力不滞留在某一局部上而是获得更长足的发展，让学生积极主动地建构有序的良好的知识组块，增强了建构功能。4例如在学生学习“乘法的意义”时，因为同一意义可以表示两种乘法算式，而同一算式有两种不同含义，如果在教学过程中，不注意数形结合，学生对乘法意义的理解往往处于“一知半解”状态。如一共有多少个五角星？在看图的基础上，学生能理解：横看，得到 555，可以表示成
8、 53 或 35，竖看，得到 33333，可以表示成 35 或 53。但是，如果问学生：35、53 表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊地表述 35 既表示 3 个 5 连加，也表示 5 个 3 连加。但实际上 3 个 5 连加和 5个 3 连加是不一样的意义，所以，此时老师应强调结合图形看，3 个 5 连加应怎样看?(横看)5 个 3 连加又应该怎样看？（竖看）说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来加强学生对乘法算式所表达意义的理解，加强算理的教学。三、数形结合突出了思维训练。在具体实施“数形结合”时，我们常常是由“形”观察“数”，由“数”构造
9、出“形”，这中间的“观察”与“构造”并未进行严格的逻辑推理。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，帮助我们复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。在教学中，把数和形结合起来分析，引导学生既从数的方面用分析的方法进行抽象思维，又从形的方面进行整体思考，通过类比、联想、想像进行形象思维，能达到思维训练的要求。例如百分数应用涂教学，参加乒乓球兴趣小组的共有 80 人，其中男生占 60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的 2/3。问后来又加入男生多少人？先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译
10、成：若把原来的总人数 80 人看作 5 份，则男生占 3 份，女生占 2 份，因而推知现在的总人数为 6 份，加入的男生为 65=1 份，得加入的男生为 805=16（人），从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。四、数形结合突出了三维模型的建立。5为了使数学上的奇异美、对称美、和谐美、内容美在图形上的体现更为直观、更为动人，应用数形结合能不断培养学生的审美情趣，提高审美意识和鉴赏力，有利于空间观念的建立。空间观念是物体的形状、大小、长短和互相位置关系
11、的表象，要培养和发展学生的空间观念，教学时就一定要联系实际，让学生看到具体的形。例如在教学长度单位的认识时，使学生获得长度单位 1 厘米的表象，学生要先用直尺量图钉、手指，1 厘米大约是 1 只图钉长，食指的宽大约是 1 厘米；要使学生获得面积单位 1 平方厘米的表象，就让学生先用边长是 1 厘米的正方形量一量大拇指的指面，大拇指的指面大小大约是 1 平方厘米，通过这样在实际中量一量，比一比，1 厘米的长短，1 平方厘米的大小就在学生大脑中留下了表象，形成了空间观念。九年制义务教育初中数学教学大纲中也把数学的精髓数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是
12、数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，
13、使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，相映生辉。一、有理数内容体现的数形结合思想数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此） 。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻6划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点） ，通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。二、应用题内容隐含的数形结合思想列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难
14、点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九义教材代数第一册（上）的“4.4 一元一次方程的应用”内容中的例 3（行程问题） 、例 4（追击问题） 、例 5（劳动力调配问题） 、例 6（工程问题） 、例 7（浓度问题） ，教学中,老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。三、不等式内容蕴藏着数形结合思想九义代数第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组” ，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有
15、无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。四、函数及其图象内容凸显了数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点 P 的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。五、几何图形的拼接体现了数形结合思想初三教学中增
16、加了新的一节内容,看似几何图形的拼接问题,但它的基础却是计算。由一种正多边形的内角是否 360 的约数,否则不能镶嵌。而当两种或三种不同的正多边形镶嵌时,由于不同图形的内角的不同以及数量比的可变性。计算就更不可少了,如两种正多边形镶嵌时,需要计算若干个两种不7同的内角能否凑成 360 。有了计算为基础,我们才能通过画图或拼图得到美丽的镶嵌图案。而且同一个计算结果,由于不同正多边形的位置不同,得到的图案可不一定相同。总之，在新课程的解决问题的编排中，我看到了数形结合教学的重要性，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。参考文献：1李秉德，李定仁， 教学论，人民教育出版社，1991。2吴文侃， 比较教学论，人民教育出版社， 19993罗增儒，李文铭， 数学教学论
