《高数(上)第八单元课后习c题答案8-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数(上)第八单元课后习c题答案8-3（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 831. 求下列函数的全微分:(1)yxxyz+=;解dyyzdxxzdz+=dyyxxdxyy)()1(2+=.(2)xy ez=;解xdyexdxexydyyzdxxzdzyxy12+=+=.(3)22yxyz+=;解 因为2/ 32223 22 )()(21 yxxyyxyxz +=+=,2/3222222222)(yxx yxyxyyyxyz +=+=,所以dyyxxdxyxxydz2/32222/322)()(+=)()(2/322xdyydxyxx+=.(4)u=xyz.解 因为1=yzxyzxu,xzxyuyzln=,xyxzuyzln=,所以xdzyxxdyzxdxyzx
2、duyzyzyzlnln1+=2. 求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2 时的全微分.解 因为2212 yxx xz +=,2212 yxy yz +=,3121= yxxz,3221= yxyz,所以dydxdz yx32 3121+= =.3. 求函数xyz=当x=2,y=1, x=0.1, y=0.2 时的全增量和全微分.解 因为xy xxyyz+=,yxxxydz+=1 2,所以, 当x=2,y=1, x=0.1, y=0.2 时,119. 021 1 . 02 ) 2 . 0(1=+=z,125. 0) 2 . 0(211 . 041=+=dz.4. 求函数z=exy当x
3、=1,y=1, x=0.15, y=0.1 时的全微分.解 因为yxexyeyyzxxzdzxyxy+=+=所以, 当x=1,y=1, x=0.15, y=0.1 时,eeedz25. 01 . 015. 0=+=*5. 计算33)97. 1 ()102(+的近似值.解 设33yxz+=, 由于yyzxxzyxyyxx+3333)()(332233 233 yxyyxxyx+=,所以取x=1,y=2, x=0.02, y=0.03 可得95. 2212)03. 0(2302. 0321)97. 1 ()02. 1 (32333=+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693)
4、.解 设z=xy, 由于yyzxxzxxxyyy+)(yxxxyxxyyy+=ln1,所以取x=2,y=1, x=0.03, y=0.05 可得(1.97)1.0520.03+2ln20.05+1.97+0.0693 2.093.*7. 已知边长为x=6m 与y=8m 的矩形, 如果x边增加5cn而y边减少 10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22yxz+=,)(122yyxx yxydydzxdxdzdzz+ +=+=,当x=6,y=8, x=0.05, y=0.1 时,05. 0) 1 . 0805. 06 ( 86122= +z.这个矩形的对角线大约减少 5cm
5、.*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为 0.1cm, 内高为 20cm,内半径为 4 厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V=R2h,VdV=2RhR+R2h,当R=4,h=20, R=h=0.1 时,V23.144200.1+3.14420.155.3(cm3)这个容器外壳的体积大约是 55.3cm3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为70.1cm和240.1cm, 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x和y, 则斜边的长度为22yxz+=.| | |yyzxxzdzz+|)|(1 22yyxxyx+=.令x=
6、7,y=24, |x|0.1, |y|0.1, 则得斜边长度z的绝对误差约为124. 0) 1 . 0241 . 07(247122=+ +=zcm.*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为630.1m和780.1m,这两边的夹角为 601, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x和y, 它们的夹角z, 为则三角形面积为zxyssin21=.zdzxyzdyxzdxydScos21sin21sin21+=|cos21|sin21|sin21|dzzxydyzxdxzydSS+.令x=63,y=78,3=z, |dx|=0.1, |dy|=0.1,180=
7、dz, 则55.2718021 278631 . 023 2631 . 023 278=+s,82.21273sin786321=S,%29. 182.212755.27=Ss, 所以三角形面积的近似值为2127.82m2, 绝对误差为27.55 m2, 相对误差为 1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u=x+y, 则|yxyxyyuxxuduu+=+=.所以两数之和的绝对误差|u|等于它们各自的绝对误差|x|与|y|的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u=xy,yxv=, 则udu=ydx+xdy,2yxdyydxdvv=,由此可得相对误差;ydy xdx xyxdyydx udu uu+=+= yy xx ydy xdx+=+;ydy xdxyxyxdyydx vdv vv= =2yy xx ydy xdx+=+.
