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1、北京 2015 年中考各区第29 题(含答案)二模昌 平29. 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 , 给 出 如 下 定 义 : 形 如2ya xma xm与2ya xma xm的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”(1)试写出一对兄弟抛物线的解析式与;(2)判断二次函数2yxx与232yxx的图象是否为兄弟抛物线,如果是,求出a与m的值,如果不是,请说明理由;(3)若一对兄弟抛物线各自与x轴的两个交点和其顶点构成直角三角形,其中一个抛物线的对称轴为直线2x且开口向上 ,请直接写出这对兄弟抛物线的解析式yxO备用图朝阳 29.如图,顶点为A( 4,4)的二次函数图象经过原点(0,0) ,
2、点 P 在该图象上, OP 交其对称轴 l 于点 M,点 M、N 关于点 A 对称,连接PN,ON. (1)求该二次函数的表达式;(2)若点 P 的坐标是(6,3) ,求 OPN 的面积;(3)当点 P 在对称轴l 左侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问题: 求证: PNM ONM; 若 OPN 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标 . 丰台29.对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yM,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是 2(1)分别判断函数1yx(0x)和23
3、yx(2x)是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界;(2)如果函数2yx(,axb ba )的上确界是b,且这个函数的最小值不超过21a,求a的取值范围;(3)如果函数222yxax(15x )是以 3为上确界的有上界函数,求实数a的值 . 怀柔 29. 阅读理解:学习了三角形全等的判定方法:“SAS” , “ASA” , “AAS” , “SSS” 和直角三角形全等的判定方法“HL”后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,A=D. 初步探究:如图 1,已知 AC=
4、DF, A=D, 过 C作CH 射线 AM 于点 H,对ABC的CB 边进行分类,可分为“ CBCA 时,在射线 AM 上取点 B,使 BCCA ,连接 BC ,以 F为圆心, CB长为半径画弧交射线DN 于点 E,连接 FE,则 BC=EF,过点F作FGDE于点G,在CAH和FDG中,CHAFGDADACDFCAHFDG(AAS) ,CH=FG,,5 分在RtCBH和RtFEG中,CHFGCBFERtCBHRtFEG(HL) , CBA= FED,,6 分EBNHMDFCAACEFDGMNBH在 ABC和EFD中,CBAFEDADACDF ABCDEF(AAS) . ,8 分29解: (1)
5、由3阶“”变换 定义:将3,2P于y轴对称的点为:3,2P1分再将P向左平移3个单位得3P的坐标36,2P2分(2)直线:33yx,令0,1yx1,0A令0,3xy0, 3B3 分由2阶“”变换定义:3,0C4分设:过,A B C三点的抛物线M的解析式31ya xx将0, 3B代入:1a抛物线M的解析式为:223yxx5分(3)1,0D,0, 3B(I)若D顶角顶点,DB为腰,12DBDEDE2210DBDOOB1210DBDEDE11, 10E,21,10E6分(II)若B为顶角顶点,BD为腰,3BDBE31, 6E7 分 (III )若BD为底,44E BE D过点B作BGy轴交抛物线对称
6、轴于G设44E BE Dx,1BG,43E Gx,在4Rt E BG中,由勾股定理222 44E BBGE G解得:53x451,3E综上所述:点E的坐标是:1, 10,1,10,1, 6,51, 38分29. 如图 1,在平面直角坐标系xOy内,已知点( 1,0)A,( 1,1)B,(1,0)C,(1,1)D,记线段AB为1T,线段 CD 为2T,点P是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点P的直线l 与1T,2T都有公yxO E4E3E2E1D CBAE4GBD共点,则称点P是12TT联络点例如,点P1(0,)2是12TT联络点(1)以下各点中,_是12TT联络点(填出所有正确的序号);(
7、0,2);( 4,2);(3,2). xy43211234321123BACDOxy43211234321123BACDO图 1 备用图(2)直接在图1 中画出所有12TT联络点所组成的区域,用阴影部分表示;(3)已知点M 在 y 轴上,以 M 为圆心, r 为半径画圆,M 上只有一个点为12TT联络点,若1r,求点 M 的纵坐标;求 r 的取值范围29答案:(1)2;1 (2)lNA BODCM2 过M作MN AB于N直线 lCD 于 O, BOD =120 , MON=30 . ON=p ,OM=q ,12pq3(3)分别作点M 关于 OA、OB 的对称点E、F,连接 EF、OE、OF、E
8、M、FM 4 OEC OMC , OFD OMD AOM=AOE, BOM=BOF,OM=OE=OF G FEDCAOBM EOF=60 5 OM=OE=OF=EFMD=1,MC=3,MF=2,ME=2 3 AOB=30 , CMD=150 6 过 F 做 FGCM,交 CM 延长线于G, FMG=30 在 RtFMG 中, FG=1,MG=3在 RtEFG 中, FG=1,EG=3 3EF=2 3 31=2 7OM=2 7729解:(1)点 C(0, 8)在抛物线223yxbxc上,8c, .1 分又 B( 6,0)在抛物线2283yxbx上,02468b,8 3b,抛物线的表达式为2288
9、33yxx.2 分(2) 结论:以P,C, E,E 为顶点的四边形为菱形 .3 分证明: E 和E 关于直线PC 对称,E CP=ECP,EPE P ,ECE C,又 PEy轴, EPC=E CP=ECP,EP=EC,.5 分ECE CEPE P,四边形E CEP为菱形 .6 分(3) B(6,0) ,C(0,8) ,BC 的表达式为483yx设228,833P xxx,则4,83Exx,yFEEPCPE 的长为228488 333xxx=2243x + x,过点 E 作 EFy 轴于点 F, CFE COB,35EFCE,53CEEF,即53CEx由 PE=EC 得225433x + xx,
10、解得7 2x,点 P 的坐标为7 55, 26.8 分(不需要过程,结论正确给2 分)29 (1),3 分(2),5分t903413 46.62 =x,0x3,ABCRABCAABACSAP(3)在中,BC=5.分设oVVL L若等分线交边AC 于点 Q, 34562AQxx21116)6,22266033,03,33.APQSAP AQxxxxxxx(即Vgg gQ此时334AQ33.AP此种不存在 ,舍去,7 分若等分线交BC 于点 Q,23453,(3)32 ,345 4(3)5 1141(3)6,2252 3266,(22BPQBPx BQxxQQEABEBEQBACQEBQQExCA
11、BCQExSBP QExxxxx过点作于点则与相似 .即(3+舍)VVVggg等分线交BC 于点 Q 时,62AP,8 分29 (本小题满分8 分) 解 : ( 1 ) a = 1, b = 2 ,2 分D ,3 分 (2)B(2,c1) ,AC = 2 2 = 4 ,4 分 当 x=0,y= c, A(0,c) F1:y=ax2+c,B(2,c1) 设 F2:y=a(x2)2+c1 点 A(0,c)在 F2上, 4a+c 1=c,14aBD = ( 4a+ c)(c1) = 2 ,5 分S四 边 形A B C D= 4 ,6 分( 3 ) ( 13 , 1 ) , ( 13 , 1 ) ,8 分29解: (1)点 A ,1 分画图见图12 (画出一个即可),2 分AMN(或 AJK) . ,3 分(2)如图 13,作 OLEF 于点 L. 线段 EF 为点 O 的 型线, OL 即为线段 EF 关于点 O 的 型三角形的高. 线段 EF 关于点 O 的 型三角形的面积为43 9,2 3 3OL. ,4 分2OE,OFm,22222 32 62()33ELOEOL. 6cos 13EL OE. 2cos2cos 1OLOLOF. 2m.,6 分(3)n5 4.,8 分图 13 图 12 图 15