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1、2三角形中的几何计算例1：如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9, BCA=30O, ADB=45O,求BD的长. ABCD5 930O45O解 在ABC中, ADBC,AB=5,AC=9, BCA=30O .由正弦定理,得因为 ADBC,所以BAD=180O -ABC,于是同理,在ABD中, AB=5,ADB=45O ,解得答 BD的长为 .例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动,到达B点时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动.如图,已知若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球? ABD45O分析 机器人最快
2、截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建立AC与BC之间的关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.解.设机器人最快可在C处截住足球,点C在线段AD上.设BC=x dm,由题意,CD=2x dm.ABD45O CAC=AD-CD=(17-2x) dm.在BCD中,由余弦定理,得.即解得所以(不合题意,舍去)答 该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.例3如图,已知O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若POB=,试将四边形OPDC的面积y表示成的函
3、数;(2)求四边形OPDC面积的最大值.AOBDCP分析 四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用表示;而求PCD的面积的关键在于求出边长PC,在OPC中利用余弦定理即可求出;面积最值,可通过函数解决.解.(1)在POC中,由余弦定理,得.所以(2)当时,1.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证 明：a=bcosC+ccosB证明:由余弦定理知右边=ABCDcba2. 已知ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对 边a、b、c成等比.试证明：ABC为正三角形.证明：a、b、c成等比，b2=acA、B、C成等差，2B=A+C，又A+B+C=180o，B=60o，A+C=120o又由余弦定理得：，即，a=c又B=60o，ABC是正三角形.
