八年级数学反比例函数教案

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1、9.1反比例函数教学目标： 1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系. 教学重点： 理解反比例函数的概念。. 教学难点： 感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型. 教学过程：1、 情境创设： 在速度 v，时间 t 与路程 s之间满足v ts：（1）如果速度v 一定时，路程s 随时间 t 的增大而增大，路程s 与时间 t 就成正比例关系。 且对于时间t 的每一个值， 路程 s都有唯一的一个值与它对应，它又是函数关系。因此，如果速度v 一定时，路程s 是时间 t 的正比例函数 . （2）如果时间t 一定时

2、，那么路程s 与速度 v 又是什么关系呢？（3）如果路程s 一定时，那么速度v 和时间 t 又是什么关系呢？反比例关系：如果两个量x、y 满足xyk（k 为常数， k0） ，那么x、y 就成反比例关系，是函数关系吗？2、 探索活动： 活动一：汽车从南京出发开往上海（全程约为300km） ，全程所用的时间t(h)随速度v(km/h) 的变化而变化. （ 1）你能用含有v 的代数式表示t 吗？300tv （ 2）利用（ 1）中的关系式完成下表：v/(km/h) 60 80 90 100 120 t/h 随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？速度变大，时间减小；速度变小，时间增大。（3）速度

3、 v 是时间 t 的函数吗？为什么？活动二：（1）利函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：一个面积为6400 的长方形的长a(m)随宽 b(m)的变化而变化；函数关系式6400ab 某银行为资助某社会福利厂，提供了 20 万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元 )随还款年限x(年)的变化而变化；函数关系式20yx实数 m 与 n 的积为 -200，m 随 n的变化而变化；函数关系式200mn 一名工人加工80 个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时 )的变化而变化. 函数关系式80yx（2）交流：函数关系式：6400ab、20yx、200mn、80yx具有什么

4、共同特征？定义：一般地，形如kyx（k 为常数， k0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量， y 是函数， k 是比例系数 . 反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0 的一切实数 . 反比例函数的函数值y 的取值范围是不等于0 的一切实数 . 指出上述4 个反比例函数的比例系数. 例 1、下列关系中的y 是 x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？（1）4yx； （2）12yx； （3）1yx； （4）1xy； （5）2xy（6）13yx； （7）21yx 练习：课本78 页注：kyx（ k 为常数， k0）可以写成1ykx（k 为常数， k0） . 例 2、已知函数22(1)

5、mymx是反比例函数，求m 的值。练习：已知函数| | 2(1)ayax是反比例函数，求a 的值。（2）思考：你还能举出反比例函数的实例吗？练习：课本78 页1 对于反比例函数20yx，它还能表示什么其它的实际意义？3、 小结与思考小结（略）思考：反比例函数kyx（k 为常数， k0）的自变量x 的取值范围为不等于0 的实数。但在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围往往受到限制，比如：（1）一名工人加工80 个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时)的变化而变化，函数关系式为80yx。求该函数的自变量范围。（2）一个面积为6400 的长方形的长a(m)随宽 b(m)的变化

6、而变化， 函数关系式为6400ab。求该函数的自变量的范围。（长是大于宽的）4、 布置作业： 课本 79 页习题 9.1 1、 2 补充：1、若 y 与 x 成反比例，且x=-3 时， y=7,则 y 与 x 的函数关系式是。2、已知 y-3 与 x+2 成反比例，且x=2 时，y=7,求（ 1）y 与 x 的函数关系式。 （2）求y=5 时， x 的值。9.2 反比例函数的图象与性质（1）新知导读1画函数xy2的图象，首先应列出x、y 的一些对应值，不列表你能知道横坐标x 与纵坐标的符号之间有何关系吗？答：符号相同。2. 已知变量y 与 x 成反比例 , 并且当 x=2 时 ,y=-3.(1

7、)求 y 与 x 的函数关系式;(2) 求当 y=2时 x 的值 ;(3) 在直角坐标系内画出(1) 小题中函数图象的草图. 答： （1）y= x6； （2） 3； （3）图略，位于二四象限的双曲线。范例点睛例 1如果 P（a，b）在 xky的图象上，则在此图象上的点还有（）A （-a，b） ; B （a，-b）; C （-a，-b）; D （ 0，0） 思路点拨：（1）可以从xy=k 发现，横纵坐标之间的关系，由ab=k，而 C 选项（ a） （b）=k，选C。 （2）或者根据双曲线的特征，它是关于原点对称的，则图象上每个点关于原点的对称点也在图象上，从而选C。易错辨析：注意双曲线是不经过原

8、点的。例 2如图，已知P是双曲线 xy2000上的任意一点，过P分别作 PA x轴， PB y轴， A，B分别是垂足， （ 1）求四边形 PAOB 的面积。（2）P点向左移动时，四边形PAOB 的面积如何变化？思路点拨：先利用双曲线设出P 点的坐标，再转化为线段PA，PB 的长度，通过计算得出面积。易错辨析：从坐标转化为线段长，注意加上绝对值。方法点评： （ 1）设P（ a, a2000） ，则PA=| a2000|， PB=|a|，四边形PAOB的面积S=PAPB=|a2000|a|=（a2000） （ a）=2000。 （2）面积不变。课外链接有一游泳池装水12 立方米，如果从水管中每小时

9、流出x 立方米的话，则经过y 小时可以把水放完。写出y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，画出函数图象。易错辨析：自变量的范围是x0，注意 x 的范围不是00。课外链接1若点 (3,4)是反比例函数y=221mmx图象上一点 ,则此函数图象必经过点( ) A.(2,6) B.(2,-6) C.(4,-3) D.(3,-4) 思路点拨：（ 1）反比例函数是关于原点的中心对称图形，它必定经过（3， 4） ，但没有这个选项。（ 2）若把（ 3，4）代入解析式，发现目前无法计算出m的值。 （ 3）最后可以根据（ 3，4） ，确定反比例函数的比例系数一定是12，横纵坐标的乘积必定为12，从而选

10、择 A。随堂演练1已知反比例函数 xmy23，当_m时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当_m时，其图象在每个象限内y随x的增大而减小。2若反比例函数 xky3的图象位于一、三象限内，正比例函数xky)92(过二、四象限，则k 的整数值是 _。3在同一直角坐标系内，函数y=2x 与xy8的交点坐标为 _。4已知 P（1，m2 +1）在双曲线xky上，则双曲线在第_象限，在每个象限y 随x 的增大而 _. 5如果反比例函数kyx在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，那么它的图象分布在（）A.第一、二象限 B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限6. 反比例函数 y=3kx的图象

11、在每个象限内的函数值y随自变量 x的增大而增大 , 那么 k的取值范围是 ( ) A.k-3 B.k-3 C.k-3 D.k0 时,y 随 x 的增大而增大的是 ( ) A.y=2-3x B.y=2xC.y=-2x-1 D.y=-12x 8已知一次函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数kby x的图象在（）A.第一、二象限 ; B第三、四象限; C第一、三象限; D 第二、四象限. 9. 下列函数中 , 图象大致为如图的是( ) A.y=1x(x0) C.y=-1x(x0) D.y=-1x(xa； （2）ab;（3）在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； （4）当位 于同

12、一分支上时，y1y2.范例点睛1 如图是三个反比例函数 xkyxkyxky321,在 x 轴上方的图象，由此观察k1、k2、k3得到的大小关系为OAMxy( ) Ak1 k2 k3Bk2 k3 k1Ck3 k2 k1D k3 k1 k2思路点拨：（1）从反比例函数经过的象限，首先判断k10, k30; （2）只需比较 k2与 k3之间的大小关系，取同一个自变量如x=1 时，在图象上找到对应的点，通过图象比较此时纵坐标的大小，根据反比例函数解析式，纵坐标大，则比例系数大，k20 ，则 a0，点 P(1,a) 在图象上，则k0，在一、三象限。2. （ 1）如图（ 1）,A、C分别是反比例函数y x

13、1图象上两点。若Rt AOB 与Rt COD 的面积分别为 S1,S2, 则S1与S2的大小关系是 ( ) A.S1S2 B.S1=S2； C.S12y3yB.3y1y2yC.2y1y3yD.3y2y1y9已知函数)0(kxky，又21，xx对应的函数值分别是21，yy，若012xx， 则有（）A. y1y20 B. y2y10 C. y10) 和反比例函数y=2k x(x0，正整数m 等于 1。例2当 x=6时, 反比例函数 y= 和一次函数 y=-x7的值相等 . (1) 求反比例函数的解析式. (2) 若等腰梯形 ABCD 的顶点 A、 B在这个一次函数的图象上, 顶点 C、 D在这个反

14、比例函数的图象上, 且 BC AD y轴,A 、B两点的横坐标分别是a和a+2(a0), 求 a的值 . 思路点拨： （2）中，利用 A、B在这个一次函数的图象上 , 设A（a，a237）， B（ a+2，a234）， C、D在这个反比例函数的图象上，设C（ a+2， 212a），D（a， a12）；过 C、B分别作 AD 的垂线，垂足分别为M 、N，因为 CM=BN ，CD=BA ，所以 DM=AN 。从而得到： a12 212a=a 234（a 237）， a=2或-4 ，所以 a=2。易错辨析：由DM=AN ，可以转化为D、C 纵坐标的差和A、B纵坐标的差，但要注意符号问题， B点的纵坐

15、标比A点的纵坐标大，它们的差等于AN 。回顾反思本课所选的两个例题分别是融合本章的重要内容的题形，解决此类问题时，注意数形结合，正确读图象，看坐标水平和竖直方向分别表示的是什么量；正确的提取信息，要学会从图象中提取适当的数量关系，同时还要能根据图象中的数量关系列出方程（组）。训练巩固1函数 y=5x中,当 x=12时,y=_;当 x=_时,y= 1. 2. 已知函数y=kx 的图象经过点(2,-6),则函数 y=kx的解析式可确定为_， 反比例函数在每个象限内，y 随 x 的增大而 _。3已知 y 与 2x+1 成反比例 ,且当 x=1 时,y=2,那么当 x=0 时,y=_. 4函数 y=221(2 )aaaa x中,当 a=_时,是正比例函数;当 a=_时, 是反比例函数 . 5已知函数y=36kx在每个象限内,y 随 x 的减小而减小,则 k 的取值范围是 _. 6.已知反比例函数y=1 2kkx,当 x0 时,y 随 x 的_而增大 . 7 点 A （a，b） 、 B(1a, c) 均在反比例函数 xy1的图象上， 若a0， 则b_c. 8 正比例函数y=k1x(k10) 和反比例函数y=2kx(k20) 的一个交点为(m,n)