任意分布的伪随机变量的抽样

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1、23 任意分布的伪随机变量的抽样 23 任意分布的伪随机变量的抽样 大多数的伪随机数变量并不满足0，1区间的均匀分布，而是具有各种不同形式的分布密度函数。 大多数的伪随机数变量并不满足0，1区间的均匀分布，而是具有各种不同形式的分布密度函数。 对一个具有分布密度函数的伪随机变量的抽样是通过以下步骤来进行的：首先在0，1区间抽取均匀分布的伪随机数列，然后再从这个伪随机数列中抽取一个简单子样，使这个简单子样的分布满足分布密度函数， 并且各个伪随机数相互独立。实际上只要0，1区间上均匀分布的随机数具有好的独立性，则抽得的简单子样也一定具有和它同样好的独立性。 对一个具有分布密度函数的伪随机变量的抽样

2、是通过以下步骤来进行的：首先在0，1区间抽取均匀分布的伪随机数列，然后再从这个伪随机数列中抽取一个简单子样，使这个简单子样的分布满足分布密度函数， 并且各个伪随机数相互独立。实际上只要0，1区间上均匀分布的随机数具有好的独立性，则抽得的简单子样也一定具有和它同样好的独立性。 )(xf)(xf因此，对不均匀的伪随机变量抽样的关键问题是如何从均匀分布的伪随机变量样本中，抽取符合所要求的分布密度函数的简单子样。 因此，对不均匀的伪随机变量抽样的关键问题是如何从均匀分布的伪随机变量样本中，抽取符合所要求的分布密度函数的简单子样。 迭加原则 迭加原则: 如果要产生分布密度函数为的随机变量样本数列，我们可

3、以把变成分布概率密度函数的和的形式，即： : 如果要产生分布密度函数为的随机变量样本数列，我们可以把变成分布概率密度函数的和的形式，即： )(xf)(xf? ? ? ?xhi? ? ? ? ? ? ?xhxfii? 并按其中的分布密度函数并按其中的分布密度函数xhi进行抽样作为的抽样值，决定选择哪一个进行抽样的原则是根据进行抽样作为的抽样值，决定选择哪一个进行抽样的原则是根据)(xf? ? ? ?xhi? ?xhidx?的积分值作为权重随机地选择的。这就是蒙特卡洛方法的迭加原则。 的积分值作为权重随机地选择的。这就是蒙特卡洛方法的迭加原则。 在对复杂的分布密度函数的抽样时，伪随机变量抽样的迭加

4、原则是十分有用的。 在对复杂的分布密度函数的抽样时，伪随机变量抽样的迭加原则是十分有用的。 直接抽样法又称为 直接抽样法又称为反函数法反函数法。设连续型随机变量。设连续型随机变量K的分布密度函数为，在数学上它的分布函数应当为 的分布密度函数为，在数学上它的分布函数应当为 )(xf. . ? ? ? ? ? ? ?dxxfxFx?f ? 得到的即为满足分布密度函数得到的即为满足分布密度函数K1? F? ?xf的一个抽样值。 的一个抽样值。 证明： 证明： 该子样中该子样中xdK的概率为： 的概率为： ? ? ? ? ? ? ? ?xFdxdxxFpxFpxpxF? ? ?d? ?d? ?d?f

5、?00110?K. . 优点是使用简单，应用范围较广。 优点是使用简单，应用范围较广。 缺点： 在分布函数不能从分布密度函数缺点： 在分布函数不能从分布密度函数xFxf解析求出时，或者求出的函数形式抽样太复杂的情况下，就不能采用这种方法。 解析求出时，或者求出的函数形式抽样太复杂的情况下，就不能采用这种方法。 例 对指数分布的直接抽样。 例 对指数分布的直接抽样。 解 指数分布的问题可用于描述粒子运动的自由程，粒子衰变寿命或射线与物质作用长度等许多物理问题。它的分布密度函数为 解 指数分布的问题可用于描述粒子运动的自由程，粒子衰变寿命或射线与物质作用长度等许多物理问题。它的分布密度函数为 ?

6、? ? ?-?!?!? ?., 00, 0,?O?O?Oxexfx它的分布函数为 它的分布函数为 . . ? ? ? ? ? ?xxtxedtedt t fxF?O?O?O?f ? ? ? ?1 0设设是0， 1区间上的均匀分布的随机数， 令是0， 1区间上的均匀分布的随机数， 令OKK eF1，解此方程得到 ，解此方程得到 ?O?K? ? 1ln1. . 注意到注意到1和和同样服从0，1区间的均匀分布，故有 同样服从0，1区间的均匀分布，故有 ?O?Kln1? ? . . 例 对如下的分布密度函数抽样 例 对如下的分布密度函数抽样 ?J ?J?J? xxxf1 01)(，1,0?!?d?Jx

7、x. . 解 （2.3.9）式的分布密度函数的对应分布函数为 解 （2.3.9）式的分布密度函数的对应分布函数为 1 01)()()(00?f ? ? ?JxxdxxfdxxfxFxxx. . 在0，1区间上的随机抽取均匀分布的随机数在0，1区间上的随机抽取均匀分布的随机数，令，令1 01? ? ?J?K?xxF，解此方程，并考虑到到，解此方程，并考虑到到1和和都是0，1区间的均匀分布的伪随机数，得到 都是0，1区间的均匀分布的伪随机数，得到 )1(1 0? ?J?Kx. . 二、 变换抽样法 二、 变换抽样法 基本思想： 将一个比较复杂的分布的抽样，变换为已经知道的、比较简单的分布的抽样。

8、基本思想： 将一个比较复杂的分布的抽样，变换为已经知道的、比较简单的分布的抽样。 例如,要对满足分布密度函数例如,要对满足分布密度函数xf的随机变量的随机变量K抽样。如果要对它进行直接抽样是比较困难的。 抽样。如果要对它进行直接抽样是比较困难的。 如果存在另一个随机变量如果存在另一个随机变量G，它的分布密度函数为，它的分布密度函数为yI，其抽样方法已经掌握，并且也比较简单. 我们可以设法寻找一个适当的变换关系。如果，其抽样方法已经掌握，并且也比较简单. 我们可以设法寻找一个适当的变换关系。如果ygx yg的反函数存在，记为的反函数存在，记为这样就可以通过变换式，由满足分布密度函数的抽样值这样就

9、可以通过变换式，由满足分布密度函数的抽样值),(vug?G?K?c?c ,得到待求的满足分布密度函数得到待求的满足分布密度函数yxf ,的抽样值的抽样值GK,。 。 以上的处理要求变换函数 和 的反函数 和 具有一阶的连续非零导数。 以上的处理要求变换函数 和 的反函数 和 具有一阶的连续非零导数。 1212gghh变换抽样的缺点：对具体问题要找到所需要的变换关系式往往是比较困难的。 变换抽样的缺点：对具体问题要找到所需要的变换关系式往往是比较困难的。 正态分布的抽样（变换抽样的具体应用） ： 正态分布的抽样（变换抽样的具体应用） ： 设随机变量设随机变量K满足正态分布，它的分布密度函数为 满

10、足正态分布，它的分布密度函数为 ? ? ? ?-? 222exp121?V?P?V?Sxxf. . 通常记为通常记为xf2,?V?PN，其中，其中P和分别是随机变量和分别是随机变量2?V?K的数学期望值和方差，即 的数学期望值和方差，即 ? ?P?K? E， ， ? ?2?V?K? V. . 当时的分布称为标准正态分布，此时的分布密度函数为 当时的分布称为标准正态分布，此时的分布密度函数为 1, 02? ? ?V?P? ? ? ?2/exp212xxf? ?S. . 记为。 记为。 ?1 , 0N?通常我们只需考虑标准正态分布的抽样方法即可。因为假如随机变量通常我们只需考虑标准正态分布的抽样方

11、法即可。因为假如随机变量K满足正态分布，随机变量满足正态分布，随机变量G满足标准正态分布，则满足标准正态分布，则K和和G之间满足关系式 之间满足关系式 ?P?V?G?K? . . 标准正态分布密度函数不能用一般函数解析积分求出分布函数，因而不能直接应用从均匀分布的抽样值变换到标准正标准正态分布密度函数不能用一般函数解析积分求出分布函数，因而不能直接应用从均匀分布的抽样值变换到标准正xF态分布的抽样值。但是可以采用一个巧妙的办法将两个独立的均匀分布的随机变量态分布的抽样值。但是可以采用一个巧妙的办法将两个独立的均匀分布的随机变量u变换为标准正态分布的随机变量。这就是做变换： 变换为标准正态分布的

12、随机变量。这就是做变换： v ,yx,sincosuu? ? ? .2ln2,2ln2vyvx?S?S反解上式得到: 反解上式得到: ? ?-? ?yxhxyvyxhyxu,/tan21,21exp21122?S按照概率理论，x 和 y 的联合分布密度函数为 按照概率理论，x 和 y 的联合分布密度函数为 ?Jyxhyxhgyxf? ,21. . 由于和是独立的均匀分布的随机变量，它们的联合分布密度函数。可以证明: 由于和是独立的均匀分布的随机变量，它们的联合分布密度函数。可以证明: uv, u?1? vg?-? 22 21exp21,yxyxf?S. . 又因为可以写为: 又因为可以写为:

13、?yxf,? ? ?yfxfyxf? ,. . 其中 其中 ? ? ? ?2/exp212xxf? ?S， ， ? ? ? ?2/exp 212yyf? ?S. . 因此从上式中的任意一式给出的抽样值都满足标准正态分布。 因此从上式中的任意一式给出的抽样值都满足标准正态分布。 上述正态分布的变换抽样法还可以做些改进，这就是所谓的上述正态分布的变换抽样法还可以做些改进，这就是所谓的 Maraglia 方法Maraglia 方法。其抽样过程： 。其抽样过程： （1） 产生0，1区间上的独立均匀分布随机数（1） 产生0，1区间上的独立均匀分布随机数u和和v。 。 采用舍选法的步骤为： 采用舍选法的步

14、骤为： (a) 选用均匀的0，1区间的随机数(a) 选用均匀的0，1区间的随机数1?，构造出a,b区间上的均匀分布的随机数，构造出a,b区间上的均匀分布的随机数1)(?Gaba? 。 。 (b) 再选取独立的均匀分布于0，1区间上的随机数(b) 再选取独立的均匀分布于0，1区间上的随机数2?，判断，判断GOfd2是否满足。 如满足上面不等式， 则执行 （c） ； 如不满足，则返回到步骤（a） 。 是否满足。 如满足上面不等式， 则执行 （c） ； 如不满足，则返回到步骤（a） 。 (c) 选取(c) 选取GK 作为一个抽样值。 作为一个抽样值。 重复上面三个步骤，就可以产生出随机数序列重复上面

15、三个步骤，就可以产生出随机数序列 nK，它满足分布密度函数。如图(2.3.1)所示，舍选抽样步骤（b）的判断不等式，它满足分布密度函数。如图(2.3.1)所示，舍选抽样步骤（b）的判断不等式xfGOfd2，是为了保证随机点，是为了保证随机点OG/,2落在曲线的下面。因为 x 取值在落在曲线的下面。因为 x 取值在内的概率等于面积比 内的概率等于面积比 ? ? ? ?xf,dxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dxxfdxxfdxxfba? ?上述抽样步骤得到的随机数数列是以分布密度函数分布的。由于随机点上述抽样步骤得到的随机数数列是以分布密度函数分布的。由于随机点xfOG/,2落在曲线落在曲线xf以下才被接受，并且所有产生的点都落在面