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1、上课 手机手机 关了吗？关了吗？8/5/2024114克莱姆法则复习：行列式按某行复习：行列式按某行(列列)展开定理及推论展开定理及推论 ai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnjai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)推论推论综合定理及推论得综合定理及推论得:8/5/2024214克莱姆法则n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组, 在在系数行列式系数行列式不为零不为零时的时的行列式解法行列式解法, 称为称为克莱姆克莱姆(Cramer)法法则则.设一个含有设一个含有n个个
2、未知量未知量n个个方程的线性方程组方程的线性方程组或表示为或表示为1.4 克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则8/5/2024314克莱姆法则定理定理1设线性非齐次方程设线性非齐次方程组组(*)的系数行列式的系数行列式则则(*)有有唯一解唯一解其中其中,( j1, 2, , n)即即:( j1, 2, , n)8/5/2024414克莱姆法则证明证明:(1)是解是解.(2)解唯解唯一一.(1)将将代入代入(*)左端左端,(*)bi ( i1, 2, , n)注注(j=1,2,n)又又将将Dj按第按第j列展开列展开，得，得14克莱姆法则(2)若有一组数若有一组数x1, x2 ,
3、xn满足满足(*), 则则D1同理同理Dx1DxjDj614克莱姆法则注注:用克莱姆法则解线性方程组的条件用克莱姆法则解线性方程组的条件或表示为或表示为齐次线性方程组齐次线性方程组:齐次线性方程组必有零解齐次线性方程组必有零解有否非零解有否非零解？(1)方程个数未知量个数方程个数未知量个数 (2)系数行列式系数行列式D0方程个数方程个数未知量个数及未知量个数及D0的情形以后讨论的情形以后讨论8/5/2024714克莱姆法则定理定理2 齐次线性方程组齐次线性方程组当当 时只有零解时只有零解, 没有非零解没有非零解.定理定理3齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解, 则则注注: 定理定理3说
4、明说明D0是齐次线性方程组有非零解的是齐次线性方程组有非零解的必要条件必要条件. 后面将证明也是充分条件后面将证明也是充分条件.即：即：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解D0D0(定理定理2 2的的逆否命题逆否命题)8/5/2024814克莱姆法则同理同理 D1=81, D2=108, D3=27, D4=27 x1=3, x2=4, x3=1, x4=1例例1 解线性方程组解线性方程组解解:=270=8/5/2024914克莱姆法则例例2 k取何值时取何值时, 线性方程组线性方程组解解:有唯一解有唯一解?6(2k)0k2时方程组有唯一解时方程组有唯一解8/5/20241014克莱
5、姆法则例例3 问问 取何值时取何值时, 齐次线性方程组齐次线性方程组解解:有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件D0有非零解有非零解?由由D0得得8/5/20241114克莱姆法则例例4 (03考研考研) 已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组其中其中试讨论试讨论a1,a2,an和和b满足何种关系满足何种关系时时,(1)方程组仅有零解；方程组仅有零解；(2)方程组有非零解方程组有非零解.D0D08/5/20241214克莱姆法则解解每行元素之和每行元素之和相同，相同，2n列加至首列列加至首列1314克莱姆法则(1)b0且且 时方程组仅有零解；时方程组仅有零解；(2) b0或或 时方程组有非
6、零解时方程组有非零解.8/5/20241414克莱姆法则例例5 (96考研考研) 解方程组解方程组其中其中 aiaj (i, j =1,2,n) 解解0aiaj (ij)易见易见D1=D, D2=D3=Dn=0 x1=1, x2=x3=xn=0 14克莱姆法则方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论论.为了明确一些结论成立的条件为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念引入数域概念:定义定义 设设F是一数集是一数集, . 若若F中任意两个中任意两个数数(可以相同可以
7、相同)的和、差、积、商的和、差、积、商(除数不为除数不为0)仍然仍然是是F中的数中的数, 即即F对四则运算封闭对四则运算封闭, 则称则称F为一个数为一个数域域. 全体整数组成的集合不是数域全体整数组成的集合不是数域, 有理数集有理数集Q、实、实数集数集R和复数集和复数集C都是数域都是数域, 分别称为有理数域、分别称为有理数域、实数域和复数域实数域和复数域. 本课程的数域本课程的数域F均指实数域均指实数域R或或复数域复数域C, 其它数域在本课程中不进行深入讨论其它数域在本课程中不进行深入讨论.注：关于数域概念注：关于数域概念8/5/20241614克莱姆法则习题课习题课行列式计算方法小结：行列式
8、计算方法小结： 1.利用行列式的定义；利用行列式的定义； 2.化三角形法；化三角形法； 3.拆行拆行(列列)法；法；4. 按某一行按某一行(列列)或某或某k行行(列列)展开；展开；5. 数学归纳法；数学归纳法；6. 利用范德蒙行列式的结论；利用范德蒙行列式的结论； 7. 递推法；递推法； 8. 加边法加边法( (升阶法升阶法) )。 8/5/20241714克莱姆法则解解:=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2)=72D0=576, D1=- -72, D2=- -144, D3=72a0=8, a1=- -1, a2=- -2, a3=1思考题思考题 已知三次曲
9、线已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在在四个点四个点x=1, x=2处的值处的值f(1)= f(- -1)= f(2)=6， f(-2)=- -6，试求其系数，试求其系数a0, a1, a2, a3.D=y=f(x)=8- -x- -2x2+ +x38/5/20241814克莱姆法则复习复习 Ch 1作业：作业：P33：10(2), 11,12, 13 做练习卷做练习卷(下次习题课带来下次习题课带来)8/5/20241914克莱姆法则a11+a12+a1n+a21+a22+a2n+an1+an2+ann+ a11+a21+an1+a12+a22+an2+a1n+a2n+
10、ann+ 返回8/5/20242014克莱姆法则下课8/5/20242114克莱姆法则复习复习 Ch 1作业：作业：P31：5(2), 6，7 做练习卷做练习卷(下次习题课带来下次习题课带来)8/5/20242214克莱姆法则作业：作业：P41(四川四川)20(2), 21(2)，22预习预习 3.1复习复习 Ch 114克莱姆法则Cramer法则的优点:用方程的系数及常数项组成的行列式把解明显地表达出来,这在分析问题时非常方便,理论上具有重要意义.缺点:实际计算时需算许多行列式(n元算n+1个n阶行列式)当n较大时,计算困难更大.例2 求四个平面相交于一点的充分必要条件.解:平面方程可写成其
11、中(看成以为未知量,为系数的齐次线性方程组)8/5/20242414克莱姆法则四平面相交于一点 有唯一的一组非零解根据 “ 齐次线性方程组有非零解 系数行列式值为零 ”即得：四平面相交于一点的充分必要条件为8/5/20242514克莱姆法则证明证明再把再把 方程依次相加，得方程依次相加，得8/5/20242614克莱姆法则于是于是当当 时时,方程组方程组(2)有惟一的一个有惟一的一个解解由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, 上式中除了上式中除了的系数的系数等于等于D,其余其余的系数均等于的系数均等于0，而等式右，而等式右端为端为由于方程组由于方程组(2)与方程组与方程组(1)等价等价,所以所以也是也是 (1)的解的解.8/5/20242714克莱姆法则
