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1、1. 取不同的初值计算下列平方和形式的非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、搜索步长、数值梯度与分析梯度等）的结果进行分析、比较。(2). 22222 121212min12114949812324681xxxxxx, (4).2122222 312123min10010,1xx xxxx，其中211122111arc,02,11arc,022tg xxx x xtg xxx. 解： (2) 由题意设22222 12121212,12114949812324681fx xxxxxxx先求12,ffxx（文件名为a.m） ， 再求1200fxf x（文
2、件名为b.m） , 解得近似解为122.900.22xx或123.460.08xx或1220.6234.53xx或1221.1836.47xx或120.280.28xx或1222.3717.49xx或1224.1317.92xx或120.8323.72xx或120.1747.72xx,取初值02 . 9 0 , 0 . 2 2x（exam0705grad_run.m ）利用 matlab 计算可得以下表中数据：搜 索 方向步 长 搜索最优解1x最优解2x最优值目 标 函 数 调用次数Case 1 bfgs 混合二、三次插值-21.181,-36.468-2.8996e+000 2.1584e-
3、001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 2 dfp -2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 3 bfgs -2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 4 steepdesc -2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 5 bfgs 三 次 插值-2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 6 dfp -2.8996
4、e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 7 bfgs -2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 Case 8 steepdesc -2.8996e+000 2.1584e-001 4.2939e-006 5.0000e+000 当取初值03.46, 0.08x（ exam07051grad_run.m）利用 matlab 计算可得以下表中数据：搜 索 方向步 长 搜索最优解1x最优解2x最优值目 标 函 数 调用次数Case 1 bfgs 混合二、三次插值3.4578e+000 -7.
5、9722e-002 8.3883e-012 1.4000e+001 Case 2 dfp 3.4578e+000 -7.9722e-002 7.2387e-010 1.6000e+001 Case 3 bfgs 3.4578e+000 -7.9722e-002 8.3883e-012 1.4000e+001 Case 4 steepdesc 3.4578e+000 -7.9722e-00 2 5.0577e-009 1.7000e+001 Case 5 bfgs 三 次 插值3.4578e+000 -7.9722e-002 8.3883e-012 1.4000e+001 Case 6 dfp
6、3.4578e+000 -7.9722e-002 7.2387e-010 1.6000e+001 Case 7 bfgs 3.4578e+000 -7.9722e-002 8.3883e-012 1.4000e+001 Case 8 steepdesc 3.4578e+000 -7.9722e-002 5.0577e-009 1.7000e+001 因为不同步长搜索到相同的最优解，但最优值不同，所以此时初值离最优解很远。继续取不同初值求解（只需在程序中不断改变初值即可）。当初值取021.18, 36.47x时可得到以下数据搜 索 方向步 长 搜索最优解1x最优解2x最优值目 标 函 数 调用次
7、数Case 1 bfgs 混合二、三次插值-2.1181e+001 -3.6468e+001 1.3691e-006 1.7000e+001 Case 2 dfp -2.1158e+001 -3.6504e+001 1.9079e+000 1.9500e+002 Case 3 bfgs -2.1181e+001 -3.6468e+001 1.3691e-006 1.7000e+001 Case 4 steepdesc -2.1174e+001 -3.6478e+001 1.5885e-001 7.7100e+002 Case 5 bfgs 三 次 插值-2.1181e+001 -3.6468e
8、+001 1.3691e-006 1.7000e+001 Case 6 dfp -2.1158e+001 -3.6504e+001 1.9079e+000 1.9500e+002 Case 7 bfgs -2.1181e+001 -3.6468e+001 1.3691e-006 1.7000e+001 Case 8 steepdesc -2.1174e+001 -3.6478e+001 1.5885e-001 7.7100e+002 综 上 全 局 极 小 点 为- 2 1 . 1 8 1 , - 3 6 . 4 6 8， 局 部 极 小 点- 2 . 8 9 9 6 , 0 . 2 1 5
9、8 4，-21.181,-36.468。（2）8 取不同的初值计算下列非线性规划，尽可能求出所有局部极小点， 进而找出 全局极小点，并对不同算法（搜索方向、搜索步长、数值梯度与分析梯度等）的 结果进行分析、比较。(2)11122211min() ()() ()TTzxaxacxaxac,2x其中c = (0.7,0.73)，T 1a = (4,4),T 2a = (2.5,3.8) 。解：(2) 1. 设计程序如 exam070702fun.m.建立功能函数，便于调用。 functionf,g=exam070702fun(x) a1=4,4; a2=2.5,3.8; c=0.7,0.73; f
10、=1/(x-a1)*(x-a1)+c(1)-1/(x-a2)*(x-a2)+c(2); if nargout1 g(1)=2*(x(1)-a1(1)/(x(1)-a1(1)2+(x(2)-a1(2)2+c(1)2+2*(x(1)-a2 (1)/(x(1)-a2(1)2+(x(2)-a2(2)2+c(2)2 %该为梯度函数的两个方向 g(2)=2*(x(2)-a1(2)/(x(1)-a1(1)2+(x(2)-a1(2)2+c(1)2+2*(x(2)-a2 (2)/(x(1)-a2(1)2+(x(2)-a2(2)2+c(2)2 end 设计脚本程序如 exam070702.m ， opt1=opt
11、imset(LargeScale, off, MaxfunEvals,1000, Tolfun,1e-8, To lX ,1e-8, Gradobj, on ); opt2=optimset(opt1,HessUpdate , dfp); opt3=optimset(opt1,HessUpdate , steepdesc); opt4=optimset(opt1,lineSearchType, cubicpoly); opt5=optimset(opt5,HessUpdate , dfp); opt6=optimset(opt5,HessUpdate , steepdesc); %x0=3,3
12、; %x0=4,4; %x0=5,5; %x0=2,7; %x0=10,10; %x0=50,20; %x0=1,10; %x0=50,100; %x0=43,2; x0=20,43; x1,v1,exit1,out1=fminunc(exam070702fun,x0,opt1) x2,v2,exit2,out2=fminunc(exam070702fun,x0,opt2) x3,v3,exit3,out3=fminunc(exam070702fun,x0,opt3) x4,v4,exit4,out4=fminunc(exam070702fun,x0,opt4) x5,v5,exit5,out
13、5=fminunc(exam070702fun,x0,opt5) x6,v6,exit6,out6=fminunc(exam070702fun,x0,opt6) 运行结果及分析。 得出答案；制成表格 初值设定为（ 20，43）搜索方向步长搜索最优解最优值目标函数调用 次数BFGS 混合二、三次 插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 DFP 混合二、三次 插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 最速下降混合二、三次 插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 BFGS 三次
14、插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 DFP 三次插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 最速下降三次插值0.2024e-004 0.4775e-004 2.0423e-005 12 可以看到采用分析方法 ( 给定梯度函数 ) 比起默认的数值方法得到结果所需要 的调用次数明显减少。 DFP 算法的函数调用次数较少。 改变初值，采用默认搜索方向BFGS ，默认搜索步长，给定梯度函数，得到的结果 如下: X(1) X(2) 最优值迭代次数(3,3) 2.4933 3.7345 -1.0329 2 (4,4) 3.
15、6711 3.9561 0.7640 1 (5,5) 5 5 0.2516 1 (2,7) 2.9899 4.1982 -0.3178 1 可以看到，改变初值对结果的影响很大. 结论：由上面计算结果得出， 无论采用那种计算方法最终都可以得到函数的极 小值的，而采用 DFP 算法函数的调用次数较少；分析法计算梯度函数效果较好； 最终结果取哪一个局部极值同初值密切相关。5.某分子由 25 个原子组成，并且已经通过实验测量得到了其中某些原子对之间 的距离（假设在平面结构上讨论） ，如下表所示。 请你确定每个原子的位置关系。 原子对距离原 子 对距离原子 对距离原子 对距离（4,1 ）0.9607(5
16、,4)0.4758(18,8)0.8363(15,13)0.5725(12,1)0.4399(12,41.3402(13,9)0.3208(19,13)0.7660(13,1)0.8143(24,4)0.7006(15,9)0.1574(15,14)0.4394(17,1)1.3765(8,6)0.4945(22,9)1.2736(16,14)1.0952(21,1)1.2722(13,6)1.0559(11,10)0.5781(20,16)1.0422(5,2)0.5294(19,6)0.6810(13,10)0.9254(23,16)1.8255(16,2)0.6144(25,6)0.3587(
