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1、- 1 -课时分层作业课时分层作业 四十六直线的交点坐标与距离公式四十六直线的交点坐标与距离公式一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5【解析】选 B.两点 A(1,2),B(3,1)的中点为 C,因为 kAB=-,所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为2,所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y-=2,即 4x-2y=5.2.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( )A.1
2、或 3B.1 或 5C.3 或 5D.1 或 2【解析】选 C.当 k=3 时,两直线平行,当 k3 时,由两直线平行,斜率相等,得:=k-3,解得:k=5.【变式备选】设 aR ,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0 与直线l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.当=,解得 a=1 或 a=-2,所以,当 a=1 时,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,a=1 或 a=-2,不是必要条件.3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( )A.x-2y-1=0
3、 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【解析】选 A.依题意,设所求的直线方程为 x-2y+a=0,由于点(1,0)在所求直线上,则 1+a=0,即 a=-1,则所求的直线方程为 x-2y-1=0.- 2 -4.若直线 5x+4y=2m+1 与直线 2x+3y=m 的交点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( )A.(-,2) B.C.D.【解析】选 D.由已知易得交点坐标在第四象限,故得-m2.5.已知直线l1的方程为 3x+4y-7=0,直线l2的方程为 6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为 ( )A. B. C.4 D.8【解析】选 B.因为直线l1的方
4、程为 3x+4y-7=0,直线l2的方程为 6x+8y+1=0,即 3x+4y+=0,所以直线l1与l2的距离为=.【变式备选】两直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为( )A.4B.C.D.【解析】选 D.把 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,则两平行线间的距离 d=.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.直线 2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2 交于一点,则 a 的值为_. 【解析】由得- 3 -代入 y=ax-2 得 a=.答案:7.已知直线l被两条直线l1:4x+y+3=0 和l2:3x-5y-5=0 截得的线段的中点为 P(
5、-1,2),则直线l的一般式方程为_. 【解析】设直线l的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.由得 x=.由得 x=.则+=-2,解得 k=-3.因此直线l的方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0.答案:3x+y+1=0【一题多解】设直线l与l1的交点为 A(x0,y0),由已知条件,得直线l与l2的交点为 B(-2-x0,4-y0),并且满足即解得因此直线l的方程为=,即 3x+y+1=0.答案:3x+y+1=08.光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的点 B 后被直线 y=x 反射到 y 轴上的点 C,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点
6、D(-1,6),则 BC 所在的直线方程为_. 【解析】作出草图,如图所示,- 4 -设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A,D 关于 y 轴的对称点为 D,则易得 A(-2, -4),D(1,6).由反射角等于入射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为=,即10x-3y+8=0.答案:10x-3y+8=0【变式备选】已知 A(3,1),B(-1,2),若ACB 的平分线在 y=x+1 上,则 AC 所在直线方程是_. 【解析】设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点为 A(x0,y0),则解得即 A(0,4).所以直线 AB 的方程为 2x-y+4=0.由得即
7、C(-3,-2).所以直线 AC 的方程为 x-2y-1=0.答案:x-2y-1=0三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.在ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+1=0,A 的平分线所在直线的方程为 y=0.若点 B 的坐标为(1,2),求(1)点 A 和点 C 的坐标.(2)三角形的面积.- 5 -【解析】(1)由方程组解得点 A(-1,0).又直线 AB 的斜率为 kAB=1,且 x 轴是A 的平分线,故直线 AC 的斜率为-1,所以 AC 所在的直线方程为 y=-(x+1).已知 BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,故直线 BC 的斜率为-2,故
8、BC 所在的直线方程为 y-2=-2(x-1).解方程组得点 C 的坐标为(5,-6).(2)因为 B(1,2),C(5,-6),所以|BC|=4,点 A(-1,0)到直线 BC:y-2=-2(x-1)的距离为 d=,所以ABC 的面积为4 =12.10.已知两条直线l1:3x+4y-2=0 与l2:2x+y+2=0 的交点 P,求:(1)过点 P 且过原点的直线方程.(2)过点 P 且垂直于直线l3:x-2y-1=0 的直线l的方程.【解析】(1)由题意,直线l1:3x+4y-2=0 与直线l2:2x+y+2=0 联立,解得 x=-2,y=2,则交点 P 的坐标为(-2,2),所以,过点 P
9、(-2,2)与原点的直线的斜率为 k=-1,直线方程为 y-2=-(x+2),化简得x+y=0.(2)直线l3:x-2y-1=0 的斜率为 k=,过点 P(-2,2)且垂直于直线l3:x-2y-1=0 的直线l的斜率为-2.所以,由点斜式所求直线的方程为 y-2=-2(x+2),即所求直线的方程为 2x+y+2=0.1.(5 分)已知点 A(1,3),B(5,-2),在 x 轴上有一点 P,若|AP|-|BP|最大,则 P 点坐标为( )A.(3.4,0) B.(13,0)C.(5,0) D.(-13,0)【解析】选 B.作出 A 点关于 x 轴的对称点 A(1,-3),则 AB 所在直线方程
10、为 x-4y-13=0.令 y=0 得 x=13,所以点 P 的坐标为(13,0).- 6 -2.(5 分)数学家欧拉 1765 年在其所著的三角形几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为 x-y+2=0,则顶点 C 的坐标是( )A.(-4,0) B.(0,-4)C.(4,0) D.(4,0)或(-4,0)【解析】选 A.当顶点 C 的坐标是(-4,0)时,三角形重心坐标为,在欧拉线上,对于其他选项,三角形重心都不在欧拉线上.【变式备选】若直线 m 被两平行线l1:x-y+1=0
11、与l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2,则 m 的倾斜角可以是15; 30; 45; 60; 75.其中正确答案的序号是_.(写出所有正确答案的序号) 【解析】两平行线间的距离为 d=,由图知直线 m 与l1的夹角为 30,l1的倾斜角为 45,所以直线 m 的倾斜角等于 30+45=75或 45-30=15.故填写或.答案:或3.(5 分)(2018 益阳模拟)在等腰直角ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过ABC 的重心,则 AP 等于 ( )A.2B.1C.D.【解析】选
12、D.以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),- 7 -设ABC 的重心为 D,则 D 点的坐标为,设 P 点坐标为(m,0),则 P 点关于 y 轴的对称点 P1为(-m,0),因为直线 BC 方程为 x+y-4=0,所以 P 点关于 BC 的对称点 P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在 QR 所在直线上,所以=,即=,解得 m=或 m=0.当 m=0 时,P 点与 A 点重合,故舍去,所以 m=.4.(12 分)(2018沈阳模拟)l1,l2是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,(
13、1)当l1,l2间的距离最大时,求直线l1的方程.(2)当l1,l2间距离为 1 时求l2的方程.【解析】(1)当两条平行直线与 A,B 两点连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.又 kAB=2,所以两条平行直线的斜率为-,所以直线l1的方程是 y-1= -(x-1),即 x+2y-3=0.(2)当l1x 轴时,l1方程为 x=1,l2方程为 x=0,l1与l2间距离为 1,合乎题设.当l1不垂直于 x 轴时,设l1斜率为 k,则l1,l2方程分别为 y-1=k(x-1),y+1=kx,所以l1与l2间距离为 d=1,解得 k=.所以l2方程为 y=x-1,综上所述,l2方程为 x=0 或 3x-4y-4=0.5.(13 分)已知不经过第一象限的直线l到原点的距离为,与两条坐标轴围成的面积为 S.(1)当 S 取最小值时求直线l的方程.(2)当 S=时,求直线l的方程.- 8 -【解析】(1)由题意可设直线的截距式方程为+=1,则 S=ab,因为原点到直线l的距离为,所以=,所以+=,所以由基本不等式可知+2,所以 S=ab5,当且仅当 a=b=-时取等号,所以直线的方程为 x+y+=0.(2)由(1)+=,又ab=,所以 ab=.由解方程组得或所以l方程为+=1 或+=1,即 x+2y+5=0,或 2x+y+5=0.
