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1、高等数学教学大纲（ Advance Mathematics）（总学时： 100 ） 一、简要说明本大纲适用于生物安全、轻化、 材料等工科专业。共 100 学时， 7 学分，属必修课程。 二、课程的性质、地位和任务高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习， 要使学生获得：（1）一元函数微积分学； （2）向量代数和空间解析几何；（3）多元函数微积分学； （4）无穷级数； （5）常微分方程，等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同
2、时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、 空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 三教学基本要求与方法本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。 较高层次的内容必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。 较低层次的内容也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中概念、 理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 四、授课教材及主要参考书（一）授课教材：高等数学 （上、下册）（第四版）同济大学数学教研室主编高等教
3、育出版社1996 （二）主要参考书1、 数学分析陈传璋等编高等教育出版社2001 2、 数学分析黄玉民编南开大学出版社2000 五、学分与学时分配本课程共100 学时， 7 学分，学时分配如下章内容学时第 一 章函数、极限与连续14 第 二 章一元函数微分学22 第 三 章一元函数积分学22 第 四 章向量代数与空间解析几何8 第 五 章多元函数微分学10 第 六 章二重积分4 第 七 章无穷级数14 第 八 章常微分方程6 总计100 六、教学内容及学时分配第一章函数、极限、连续（ 14 学 时）1、 要点函数的概念，函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，复合函数，反函数，基本初等函数的性质
4、及其图形，初等函数，简单应用问题的函数关系式的建立。数列极限的N定义，函数极限的定义和函数的左、右极限，无穷小，无穷大，无穷小的阶，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，等价无穷小求极限。函数连续的概念，函数间断点的类型和名称，初等函数的连续性， 闭区间上连续函数的性质。2、 目的要求（1）理解函数的概念。（2）了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。（3）理解复合函数的概念、了解反函数的概念。（4）掌握基本初等函数的图形及其性质。（5）会建立简单实际问题的函数关系式。（6）了解极限的概念（对于极限的N、定义只作一般了解） 。（7）掌握极限四则运算法则。（8）了解两个极限存在准则（
5、夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。（9）了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。（10）理解函数在一点连续的概念。（11）了解间断点的概念，并会判别间断点的类型和名称。（12）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理） 。第二章一元函数微分学（22 学时）1、 要点导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，基本初等函数的导数公式，导数和微分的四则运算，复合函数的求导法则，反函数的导数，高阶导数，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数，一阶微分形式不变性。罗尔（ Rolle ）定理，拉格朗日
6、（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）定理。泰勒（ Tayloy）定理，罗必塔（LHospital）法则，函数的极值概念及其求法，函数增减性和函数图形的凹凸性的判定，函数图形的拐点及其求法，描绘函数的图形，函数最大值和最小值的求法及简单应用，曲率和曲率半径。2、 目的要求（1）理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。（3）了解高阶导数的概念。（4）掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。（5）会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，
7、会求反函数的导数。（6）理解罗尔（ Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。（7）了解柯西（ Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。（8）理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。（9）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线），会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。（10）会用罗必塔（L，Hospital）法则求不定式的极限。（11）了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。第三章、一元函数积分学（26 学时）1、 要点原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分
8、部积分法，有理函数、 三角函数有理式的积分，定积分的概念和基本性质，积分中值定理，变上限定积分及其导数，牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分的概念及其运算，定积分应用（如面积、体积、压力等）。2、 目的要求（1）理解不定积分和定积分的概念及性质。（2）掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。（3）会求简单的有理函数的积分（对待定系数不作过高要求）。（ 4）理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿- 莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式。（5）理解广义积分的概念和-函数的性质。（6）掌握用定积分表达
9、一些几何量与物理量（如面积、体积、压力等）的方法。第四章向量代数与空间解析几何（8 学时）1、 要点 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的线性运算，向量数量积和向量积的概念及运算，向量的坐标表达式及其运算，投影单位向量，方向角与方向余弦，两向量的夹角，两向量垂直和平行的条件。平面方程，曲面方程的概念，旋转曲面、柱面、二次曲面的标准方程及其图形。2、目的要求（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。（2）掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。（4）掌握平面方程。（5）
10、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。第五章多元函数微分学（10 学时）1、要点多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质，偏导数、全微分的概念，全微分存在的必要和充分条件。复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数。空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程，多元函数极值、 条件极值的概念，二元函数极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值和最小值的应用问题。2、目的要求（ 1）理解多元函数的概念。（ 2）了解二元函数的极限与连续的概念，（ 3）理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必
11、要和充分条件。（ 4）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。（ 5）会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。（ 6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程。（ 7）理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。第六章二重积分（ 4 学时）1 、要点二重积分、三重积分的概念及其性质，二重积分（两种坐标）。2 、目的要求（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。第七章无穷级数（ 14 学时）
12、1 、要点常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数和的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数和P 级数的收敛性，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛，条件收敛， 函数项级数的收敛域及和函数的概念，幂级数的收敛半径和收敛域， 幂级数在其收敛域内的基本性质，幂级数求和函数，函数展开为泰勒级数的充要条件， xxxarctgxxxemx 11,)1(),1ln(,cos,sin,的麦克劳林（Maclaurin ）展开式并将简单函数展成幂级数。2、目的要求 （ 1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。（ 2）掌握几何级数和P级数的
13、收敛性。（ 3）了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（ 4）了解交错级数的莱布尼兹定理。（ 5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。（ 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（ 7）掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。（ 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。（ 9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（ 10）会利用xxxarctgxxxemx11,)1(),1ln(,cos,sin,的麦克劳林（Maclaurin ）展开式将一些简单函数间接展开为幂级数。第八章常微分方程（ 6 学时）1、要点常微分方程的概念，微分方程的解，通解，特解，初始条件，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程。降阶法解高阶微分方程（三类），二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程。用微分方程解简单的几何和物理问题。2、目的要求（1）了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。（2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。（3）会解齐次方程并从中领会用变量代换求解方程的思想。（4）会用降阶法解下列方程：（5）理解二阶线性微分方程解的结构。（6）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（7）会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
