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1、第二章 数学建模第三章 模型与建模法3.1 量纲分析与轮廓模 型一. 量与量纲一. 量与量纲 1. 量及其度量量及其度量 10. 模型所涉及的主要是模型所涉及的主要是量量不是不是数数 20. 量（物理量）可以分为：量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量基本量：基础的，独立的量 长度、质量、时间、长度、质量、时间、 导出量：由基本量通过自然规律导出的量导出量：由基本量通过自然规律导出的量 速度、加速度、力、速度、加速度、力、 30. 量的度量体系量的度量体系 单位制：单位制： 基本量及其度量单位基本量及其度量单位40. 国际单位（国际单位（SI）制）制 基本量基本量 名称单位符号名称单
2、位符号 长度长度L米米m 质量质量M 千克千克kg 时间时间T秒秒s 电流强度电流强度 I 安培安培A 温度温度 开尔文开尔文 K 光强光强J 坎德拉坎德拉 cd 物质的量物质的量 N 摩尔摩尔mol导出量导出量 名称 单 位符号名称 单 位符号 力牛 顿力牛 顿N（kgms-2） 能量 焦 耳能量 焦 耳J（kgm2s-2） 功率 瓦 特功率 瓦 特W（kgm2s-3） 频率 赫 兹频率 赫 兹Hz（s-1） 压强 帕斯卡压强 帕斯卡Pa（kgm-1s-2）2. 量纲：量纲： 10. 量纲：一个物理量量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基 本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式一般都可以表示为基
3、 本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 Q=LMTIJ N为该物理量对选定的这组基本量的为该物理量对选定的这组基本量的量纲积量纲积或或量 纲表达式量 纲表达式。, , , , , , 称为量纲指 数。 称为量纲指 数。 例例. 长度长度=L、质量质量=M、时间时间=T、 体积体积=L3、加速度加速度=LT-2、力力=MLT- 2。注注 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择， 独立于单位的确定。物理量的量纲只依赖于基本量的选择， 独立于单位的确定。 2. 对于某个物理量对于某个物理量Q，有 ，有 =0，则称之为无量纲 量，记为，则称之为无量纲 量，记为Q=1 。它将不依赖于选定的基本 量。它将
4、不依赖于选定的基本 量。 3. 无量纲量不一定是无单位的量。无量纲量不一定是无单位的量。20. 量纲齐次法则量纲齐次法则一个规律的数学表达式中每一个加 项的量纲必须是一致的，或者都是无量 纲量。一个规律的数学表达式中每一个加 项的量纲必须是一致的，或者都是无量 纲量。二. 量纲分析与Buckingham 定理1. 量纲分析（量纲分析（Dmentional Analysis） 例例3.1 建模描述单摆运动的周期建模描述单摆运动的周期 问题：质量为问题：质量为m的小球系在长度为的小球系在长度为 l的线的 一端的线的 一端, 铅垂悬挂。铅垂悬挂。 小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下 做往复的周期
5、运动。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下 做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。分析小球摆动周期的规律。 假设：假设： 1. 忽略空气阻力；忽略空气阻力； 2. 忽略可能的磨擦力；忽略可能的磨擦力； 3. 平面运动，忽略地球自转；平面运动，忽略地球自转； 4. 忽略摆线的质量和变形。忽略摆线的质量和变形。lm g?lm g?lm g?分析建模分析建模 10. 列出有关的物理量列出有关的物理量 运动周期运动周期 t，摆线长，摆线长 l，摆球质量，摆球质量 m，重力加 速度，重力加 速度 g，振幅 ，振幅 . 20. 写出量纲写出量纲 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30.
6、 写出规律写出规律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 写出规律中加项 的形式写出规律中加项 的形式 =t 1l 2 m 3 g 4550. 计算 的量纲计算 的量纲 =T1 L2 M3 (LT-2)4= T12 4L2 +4 M3 60. 应用量纲齐次原理应用量纲齐次原理 由由 = 1，可得关于，可得关于i (i 1, 2, , 5)的方程组的方程组 1 - 24= 0 2 + 4= 0 3= 0 ?5任意任意70. 解方程组解方程组 解空间的维数是二维。对自由变量（?解空间的维数是二维。对自由变量（?4， ?， ?5）选取基底（）选取基底（1，0）和（）和（0，1）。）。 关于
7、?关于?1, ?2, ?3求解方程组可得基础解系求解方程组可得基础解系 =10000,010125432180. 求 ?求 ? 将方程的解代入加项 ? 的表达式，可得将方程的解代入加项 ? 的表达式，可得 ?1= t2 l-1 g = t2 g / l ， ?， ?2= ?。?。 90. 建模建模 单摆运动的规律应为单摆运动的规律应为 f (?1, ?2) = 0，解出 ?，解出 ?1可得可得 ?1 = k1(?2) ，即，即 t2 g / l = k1( ? ) ，lgkt)(=量 纲 分 析 100. 检验检验 周期与 质量周期与 质量 m m=390g m=237g l = 276cm
8、3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 ?周期与振幅 ? ? (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k( ? ) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 ? 150时时, k( ? ) 2?。?。 k( ? ) 与 ? 有关。与 ? 有关。2. Buckingham ? 定理物理量的函数关系物理量的函数关系 F(x1, ,xk) = 0 当且仅当它可以表示为形式当且仅当它可以表示为形式 f(?1, , ?m) = 0 时，它才是
9、量纲齐次的，时，它才是量纲齐次的， 其中其中m k, 且且为为 xi的无量纲乘积的无量纲乘积 i = 1.mixkjjiij, 1,1?= =问题问题P85 1. 4. *2.三. 量的比例关系与轮廓模型1. 量的比例关系 10. 模型表达了不同量纲的量之间的转 换规律. 20. 由量纲分析原理可知:不同量纲的量 的乘幂之间一定存在比例关系。 30. 在同一模型中，若量 y1和 y2的量纲 分别为 y1 = X和 y2 = X，则定有 y1=k y2/。2. 轮廓模型直接利用不同量纲的量之间的比 例关系所得到的模型称之为轮廓模 型。3. 模型举例 例 1. 几何体中的长度、面积和体积 正立方体
10、 棱长 l0=a，底面周长 l1= 4a，底面 对角线长对角线长 表面积 S1 = 6a2, 底面面积 S2 = a2， 对角面面积 体积 V1= a3, 四棱锥体积 V2 = a3/3al22=al33=2 32aS=结论 在简单的几何体中， 相应部位的面积与相应部位长度 的平方呈正比； 相应部位的体积与相应部位长度 的立方呈正比； 相应部位的体积与相应部位面积 的3/2次方呈正比； Si= k1Lj2，V i= k2Lj3，Vi= k3Sj3/2。长方体 I 有棱长 (a, b, c) 总棱长L1=2(a+b+c), 底面周长 L2=2(a+b), 对角线长 表面积S1=2(ab+bc+c
11、a), 底面面积 S2= ab, 体积V1=abc, 四棱锥体积 V2=1/3 abc.222 3cbaL+=量的比例关系与轮廓模型若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且a*/a = b*/b = c*/c = m. 则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3;S1*= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2 于是可得Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=V/L3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2. 即S=k1L2, V=k2L3, V=k3S3/2.结论 在相似的几何体中， 相应部位的面积与相应部位长度的 平方呈正比； 相应部位的体积与相应部位长度的 立方呈正比； 相应部位的体积与相应部位面积的 3/2次方呈正比； Si= k1Lj2，Vi= k2Lj3，Vi= k3Sj3/2。
