1三角形单元有限元

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1、结构有限元法第1章 三角形常应变单元的有限元法 第2章 有限元程序设计与分析软件 第3章 平面问题高阶单元的有限元法 第4章 空间实体的有限元法 第5章 杆系结构的有限元法 第6章 板壳问题的有限元法 第7章 结构动力问题的有限元法？ 第8章 弹塑性问题的有限元法结 构 有 限 元 分 析第1章 三角形单元的有限元法1.1 有限元法的基本思想 有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵分析，其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。它避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建立和求解偏微分方程），使大型、复杂结构

2、的计算容易地 在计算机上完成，应用十分广泛。ANSYS, SAP2K把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平 衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成 结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能 力来确定。12345678910P576456345678 弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号 有限元法主要优点：（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。1.1.1 有限元法的分析步骤

3、（1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单 元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。l/2l/2P1231、F12、F23、F34、F4l/212l/2231、F12、F23、F34、F4单元的 节点上 有位移 和力F（2）单元集合：把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构，形成离散结构节点平衡方程。（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。1、F12、F23、F34、F4l/212l/2231、F12、F23、F34、F4l/2l/2P1231.1.2 有限元法分析思路流程解综合方程K= P 求结构节点位移 计算结构内力和应力系统分析 (把单

4、元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K 形成等价节点荷载P )离散（剖分）结构 为若干单元单元分析 (建立单元刚度矩阵ke 形成单元等价节点力)（1-1）2、单元内任意点的体积力列阵qV（1-2）1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV qs 1.2 基本力学量矩阵表示图1-1ijmxy uv3、单元内任意点的位移列阵f（1-3） 4、单元内任意点的应变列阵 （1-4）ijmxy 5、单元内任意点的应力列阵（1-5）6、几何方程（1-6）将上式代入式(1-4），ijmxy （1-4）7、物理方程矩阵式（1-7）式中 E、弹性模量、泊松比。上式可简写为（1-8）其中 对于弹性力

5、学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：(1-9）矩阵D称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）中的E换为 ，换为 。(1-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵D的体积和元素是不同的。1.3 位移函数和形函数 1、位移函数概念由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而 必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移模式 ”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，

6、当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍 以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。图1-2是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单 元平面内有两个分量：（1-10） 一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序） ，共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：(1-12）式中：

7、a1、a2、a6待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移， a2、 a3、 a5、 a6代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。(1-11）ijmuiujumvivjvmxyuvu选取位移函数应考虑的问题 （1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中 有u和v，与此相应，有2个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本 单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 （

8、5）位移函数中必须包含单元的常应变。 （6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。 条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。 （7）位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要 求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由 度数。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。 (a2, a

9、6, a3+a5 )位移函数中包含了单元的刚体位移。 (a1, a4 ) 254136 对任一单元，如单元，取位移函数：、单元的位移函数都是可以看出：位移函数在单元内是连续的； 以、的边界26为例2562635623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合 。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。3、形函数形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。(1-13 ） （1）形函数确定现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定 常数a1、a2、a6 。设节点i、j、m的坐标分别为（ xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），节点位移分别为 （ui、v

10、i）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们代入 式（1-12），有从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为 (1-14） 式中， A为三角形单元的面积，有 (1-15） 特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节 点作为起始节点i，则没有关系。 将式(1-14）代入式(1-12）的第一式，整理后得同理ijmxy（2 ）（1 ）（7 ）(1-16）式中 (1-17） ijm式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下 标，可得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出现类似情 况时，照此推理。式(1-17

11、）表明： aj、bj、cjam、bm 、cm是单元三个节点坐标的函数。(1-16）令 (1-18） 位移模式(1-16）可以简写为(1-19） 式(1-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学 上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又 称插值函数。 (1-16）用形函数把式(1-16）写成矩阵，有缩写为(1-20）形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有 以下性质：N为形函数矩阵，写成分块形式：(1-21） 其中子矩阵(1-22）I是22的单位矩阵。（2）形函数性质性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本

12、单元，有 （i、j、m）性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对于本单元，有xyN （i，j，m）Ni =1 ijm图1-3？xyN （I，j，m）Ni =1 ijmNj =1ijmNm =1ijmNi =1 ijmNj =1Nm =1图1-4也可利用行列式代数余子式与某行或列元素 乘积的性质（等于行列式值或0）证明。性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有 xxixjxyNi(xi， yi)j (xj，yj)m (xm，ym)Ni(x、y)1证图1-5 （1）性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为 (1-23）式中 为 边的长度。 1.4 单元应变和应力根

13、据几何方程(1-6）和位移函数(1-16）可以求 得单元应变。1、单元应变(1-6）对位移函数（式(1-16）(1-24）(1-16）求导后代入式(1-6），得到应变和节点位移的关系式 。上式简写一般式： (1-25）式中， B单元应变矩阵。对本问题，维数为36。它的分块形式为：子矩阵 (1-26）由于 与x、y无关，都是常量，因此 B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元 被称为常应变单元。2、单元应力将式(1-25）代入物理方程式(1-8），得 单元应力(1-27）也可写为 (1-28）其中：S称为单元应力矩阵，并有(1-29）这里，D

14、是33矩阵，B是36矩阵，因此 S也是36矩阵。它可写为分块形式 (1-30）将弹性矩阵（式(1-9） 和应变矩阵（式(1-26）代 入，得子矩阵Si由式(1-29）(1-31）式(1-31）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成 ，换成 即得。(1-32）由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所 以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。当然，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共 边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这 种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。1.5 单元平衡方程1

15、、 单元应变能 对于平面应力问题中的三角形单元，设单元厚度 为h 。将式(1-25）和(1-8）代入上式进行矩阵运算，并注 意到弹性矩阵D的对称性，有应变能 U为ijmxyh(1-25)(1-8）由于和T是常量，提到积分号外，上式可写成 引入矩阵符号k，且有 (1-33a）式(1-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意 到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得计算 k的一般式。(1-33）式(1-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也 是计算各种类型单元k的一般式。dv1.6节中将明确k的力学意义是单元刚度矩阵。 式(1-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。单元应变能写成 (1-34）2、 单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的 分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的 内力等。 (1-33）（1）