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1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.33.3 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图 象解一元二次不等式 2能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序 框图 3了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法1一元二次不等式的概念 形如_或_(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式用文字 表述为：一般地，含有_未知数且未知数的_为 2 的整式不等式，叫做一元二 次不等式 【做一做 1】已知不等式：x20；x22x15；x35x60；x2y0. 其中
2、一元二次不等式的个数为( ) A1 B2 C3 D4 2二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示： 设f(x)ax2bxc(a0)b24ac000yf(x)的图象f(x)0 的根有两个不等的实根 x1，x2，且x1x2有两个相等的实根 x1，x2，且x1x2没有实数根f(x)0 的解集_ f(x)0 的解集_对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取 两边，小于取中间即：你只要记住一个前提：a0 和四句话：根上等于零，根间小于零， 根外大于零，无根大于零 对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数， 再对照上述情
3、况求解我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等 式 【做一做 21】不等式x22x10 的解集是( ) AR R Bx|xR R，且x1 Cx|x1 Dx|x1 【做一做 22】不等式6x2x20 的解集是_ 3用程序框图描述求解一元二次不等式ax2bxc0(a0)的算法过程：2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2【做一做 3】函数yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0 的解集是_一、借助函数图象解不等式的原理分析 剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标 系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象因此函数图象上
4、点的坐标的意义是横坐 标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值二次函数f(x)ax2bxc的图象上的点的 坐标的意义也是一样由于位于x轴上方的点的纵坐标大于 0，位于x轴上的点的纵坐标 等于 0，位于x轴下方的点的纵坐标小于 0，所以二次函数f(x)ax2bxc的图象上位 于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)ax2bxc0 的解集，二次函数 f(x)ax2bxc的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x) ax2bxc0 的解集所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式当然，对于任 意函数yf(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)0 或f(x)0.(1)如
5、果一元二次不等式ax2bxc0 的解集是 R R，则有Error!如果一元二次不等式 ax2bxc0 的解集是 R R，则有Error! (2)如果一元二次不等式ax2bxc0 的解集是，则有Error!如果一元二次不等式 ax2bxc0 的解集是，则有Error! 二、简单的一元高次不等式的解法 剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个 一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲 线从最大的根的
6、右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“”型不等式 的解集，下方区域为“”型不等式的解集当有重根时，偶次重根“穿而不过” ，奇次重 根按一次根对待 三、分式不等式的解法 剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式 不等式，解法有两种： (1)穿根法，其解题过程为： 先化成标准式(右端为 0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)， 要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数以下过程同一元高次 不等式的解法 (2)等价转化法，如下表所示.分式不等式同解变形 1同解变形 20fx gx0Error!fx gx或Error!0
7、fx gxf(x)g(x)00fx gx0Error!fx gx或Error!0fx gxf(x)g(x)00fx gxError!或Error!0fx gxError!0fx gxError!或Error!0fx gxError!四、教材中的“？” 1由(1)和(2)的解法，你能否解不等式0，0?x2 x3x2 x3剖析：(1)0 相当于Error!或Error!即Error!或Error!得x3 或x2.x2 x3(2)0 相当于Error!或Error!即Error!或Error!得2x3.x2 x32不等式x24x40 的解集是什么？x24x40 的解集是什么？ 剖析：x24x40 相
8、当于(x2)20，不等式的解集为 R R. x24x40 相当于(x2)20，不等式的解集为x|x2题型一 一元二次不等式的概念 【例 1】2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4x2x10，x24x50，xy210，mx25x10，x35x0， (a21)x2bxc0(m，aR R)其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 _(请把正确的序号都填上) 反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决 定了这个不等式是否为一元二次不等式 题型二 一元二次不等式的解法 【例 2】解不等式：x22x30. 分析：可对不等式左边进行因式分解，再利用积的符
9、号法则把它转化为不等式组求解； 也可以利用二次函数图象求解 反思：解法一的具体步骤是：(1)因式分解；(2)转化为不等式组；(3)写解集解法二 的具体步骤是：(1)构造函数；(2)画图象；(3)写解集 【例 3】解关于x的不等式：x2(aa2)xa30(aR R) 分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程 的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论 反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含字母系数 的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏 题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题 【例 4】若
10、不等式px2qx20 的解集为x|1x2，求pq. 分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由 方程的根确定方程的系数于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题 反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系 数求其解集)正好是互为逆向的两类问题这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出 一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值利用此法确 定不等式系数时，必须注意：将两不等式化为同向不等式；同向二次不等式的二次项 系数同号，否则就会产生错误 题型四 分式不等式的解法 【例 5】解下列不等式：(
11、1)0；(2)0；(3)0.4x 2x32x1 3x1ax x1反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“” “”型的分式不等式， 转化后应变为不等式组1 已知集合Mx|x|3，Nx|x2x60，则MN为( ) AR R Bx|2x3 Cx|3x2 或x3 Dx|3x2 2 函数y的定义域是( )x2x12Ax|x4 或x3 Bx|4x3 Cx|x4 或x3 Dx|4x3 3 不等式 2x2mxn0 的解集是x|x3 或x2，则二次函数y2x2mxn的 表达式是( ) Ay2x22x12 By2x22x122017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案5Cy2x22x1
12、2 Dy2x22x12 4 不等式x2x20 的解集是_ 5 二次函数yax2bxc(xR R)的部分对应值如下表：x32101234y60466406 则不等式ax2bxc0 的解集是_ 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理 1ax2bxc0 ax2bxc0 一个 最高次数 【做一做 1】B2x|xx1或xx2 x|x R R x|x1xx2 b 2a 【做一做 21】B【做一做 22】x|x 或x 原不等式等价于 6x2x20，6x2x202 31 2的两根为x1 ，x2 ，6x2x20 的解集为x|x 或x 2 31 21 22 33 (，)(，)b2ab2ab 2ab 2a (，x1
13、)(x2，) (，) 【做一做 3】 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】 是；不是；不一定是，因为当m0 时，它是一元一次不等 式；不是，因为未知数的最高次数是 3；是，尽管x2的系数含有字母，但a210， 所以与不同，故答案为. 【例 2】解：解：解法一：原不等式化为(x1)(x3)0，即Error!或Error! 解得x3 或x1. 故原不等式的解集为x|x1 或x3 解法二：作函数yx22x3 的图象，如图所示，由图可知，yx22x3 的图象在 x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x1 或x3.故原不等式的解集 为x|x1 或x3【例 3】解：解：将不等式x2(aa2)x
14、a30 变形为(xa)(xa2)0. 当a0 或a1 时，有aa2，解集为x|xa或xa2； 当 0a1 时，有aa2，解集为x|xa2或xa； 当a0 时，解集为x|x0； 当a1 时，解集为x|x1 【例 4】解：解：不等式px2qx20 的解集为(1,2)， 方程px2qx20 的两根是x11，x22，且p0. 由韦达定理，可知Error!Error!pq0.【例 5】解：解：(1)0Error!4x 2x32017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6Error!x|x4 或x 3 2(2)0(2x1)(3x1)02x1 3x1x|x 或x 1 21 3(3)0ax(x1)0，ax x1 当a0 时
