《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分教学案苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分教学案苏教版选修2-2（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案11 15.15.1 & & 1.5.21.5.2 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分定积分对应学生用书 P24曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x1，x2，y0 和函数f(x)x2所围成的图形，问题 1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？提示：不能问题 2：若把区间1,2分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解问题 3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲
2、边梯形数目越多，所求面积越精确1曲边梯形的面积将已知区间a，b等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长于是，可用f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)xf(x2)xf(xn)x表示了曲边梯形面积的近似值2求曲边梯形的面积的步骤苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案2求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割以直代曲作和逼近定积分设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为 x，在每个
3、小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn，作和(xba n)Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x.如果当 x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分记为Sf(x)dx.b a其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限定积分的几何意义问题 1：试利用定积分的定义计算xdx的值1 0提示：将区间0,1等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间i1 n，in的面积为Sif ，(i n)1 ni n1 n所以SnSi (123n)n i1n i1i n1 n1 n2 ，1 n2nn1 21 21 2n
4、当n时，Sn ，所以xdx .1 21 01 2问题 2：直线x0，x1，y0 和函数f(x)x围成的图形的面积是多少？提示：如图，S 11 .1 21 2问题 3：以上两个问题的结果一样吗？苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案3提示：一样问题 4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分f(x)dx(f(x)0)的值等于直线xa，xb，(ab)，y0 和曲线b ayf(x)所围成的面积一般地，定积分 f(x)dx的几何意义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的b a代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)1 “分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲” ，例子中以“
5、矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积” 2定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分b a区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dxt2dt.b ab a对应学生用书P26利用定积分的定义求曲边梯形的面积例 1 求由直线x1，x2 和y0 及曲线yx3围成的图形的面积思路点拨 依据求曲边梯形面积的步骤求解精解详析 (1)分割如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，n1 nn2 n把区间1,2等分成n个小区间：，nn1 n1，n1 n n1 n，n2n苏教版 2017-2
6、018 学年高中数学选修 2-2 教学案4，每个小区间的长度为ni1 n，ninnn1 n，2x ，ni nni1 n1 n过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1，S2，Sn.(2)以直代曲取各小区间的左端点i，用为一边长，以小区间长 x 为其邻边长的小矩形3i1 n面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为Six3 (i1,2,3，n)3i(ni1 n)1 n(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即SSi3.n i1n i1(ni1 n)1
7、n(4)逼近当分割无限变细，即 x0 时，和式的值S.因为3(ni1)3n i1(ni1 n)1 n1 n4n i1(n1)33(n1)2i3(n1)i2i31 n4n i1n(n1)33(n1)23(n1) (n1)(2n1)n2(n1)2，1 n4nn1 2n 61 4当n时，S31 1 .n i1(ni1 n)1 n3 21 415 4一点通 四边形面积的求解(1)规则四边形：利用四边形的面积公式(2)曲边梯形苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案5思想：以直代曲；步骤：分割以直代曲作和逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确1已知汽车做变速直线运动，在时刻
8、t的速度为v(t)t22t(单位：km/h)，求它在 1t2 这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为，1i1 n，1in在第i个时间段的路程近似为Sivt ，i1,2，n.(1i n)(1i n)22(1i n)1 n所以SnSi (n1)2(n2)2(n3)n i1n i1(1i n)22(1i n)1 n1 n32(2n)2(n1)(n2)2n2 n21 n32n2n14n1 6nn12n162 n2nn12n 23 ，1 3(21 n)(41 n)1 6(11 n)(21 n)1 nn时，3 S.1 3(21 n)(41 n)1 6(11 n)(
9、21 n)1 n则当n时，1 3(21 n)(41 n)1 6(11 n)3 .(21 n)1 n2 3由此可知，S .2 3所以这段时间行驶的路程为 km.2 3利用定积分的几何意义求定积分例 2 利用定积分的几何意义，求：苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案6(1) dx；3 39x2(2) (2x1)dx.3 0思路点拨 f(x)dx的几何意义：介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面b a图形面积的代数和精解详析 (1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上9x2半圆(如图(1)所示)其面积为S 32 .1 29 2由定积分的几何意义知dx
10、.3 39x29 2(2)在平面上，f(x)2x1 为一条直线(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3 围成的直角梯形OABC的面积(如图(2)所3 0示)其面积为S (17)312.1 2根据定积分的几何意义知 (2x1)dx12.3 0一点通 (1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，注意分割点的确定(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：由三条直线xa、xb(a0)，求实数a的值a 0解：由定积分的几何意义知：xdx aa1(a0)，a 01 2则有a.27计算定积分 (3x6)dx.5 0解：如图，计算可得A的面积为，B的面积为 6，从而 (3x6)27 25 0苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 2-2 教学案12dx6.27 215 28利用定积分的几何意义求： dx.1 01x2解：被积函数为y，其表示的曲线为以原点为圆心，1 为半径的四分之一圆，1x2由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以dx12.1 0 1x2 4 4
