《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：3.2均值不等式学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案13.23.2 均值不等式均值不等式1探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件 及几何意义 2会用均值不等式解决简单的问题3掌握运用均值不等式求最值的常用方法及需注意的问题ab 2ab1重要不等式：对于任意实数a，b，有a2b2_2ab，当且仅当_时，等号成 立(1)重要不等式成立的条件是a，bR R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的 代数式，因此应用范围较广； (2)等号成立的条件是当且仅当ab，即当ab时，等号成立；反之，等号成立时有 ab. 【做一做 1】不等式a12(a0)中等号成立的条
2、件是( )aAa2 Ba1Ca Da01 22(1)均值不等式：如果a，bR R，那么_，当且仅当_时，等号成 立也叫基本不等式(2)对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的_，数叫做a，b的ab 2ab_，故基本不等式用语言叙述是_公式变形：(1)ab2，ab()2(a，bR R)，当且仅当ab时，等号成立abab 2(2)a 2(aR R)，当且仅当a1 时，等号成立1 a(3) 2(a，b同号)，当且仅当ab时，等号成立a bb a【做一做 21】若x0，则x 的最小值为_2 x【做一做 22】已知 0x ，则函数yx(13x)的最大值是_1 33已知x，y都为正数，则 (1)若xyS(和
3、为定值)，则当_时，积xy取得最大值_ (2)若xyP(积为定值)，则当_时，和xy取得最小值_(1)应用上述性质时注意三点：各项或各因式均为正；和或积为定值；各项或各 因式能取得相等的值即“一正二定三相等” 2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案2(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用 【做一做 3】已知x，y都是正数， (1)如果xy15，则xy的最小值是_； (2)如果xy15，则xy的最大值是_一、使用均值不等式求最值的注意事项 剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案例如，当x0 时，函数f(
4、x)x 22，所以函数f(x)的最小1 xx1 x值是 2.由于f(2)2 2，很明显这是一个错误的答案其原因是当x01 25 2时，不能直接用均值不等式求f(x)x 的最值因此，利用均值不等式求最值时，首先1 x确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数其实，当x0 时，x0，则f(x)x22，此时有f(x)2.因此，当所求最值的代数式中的1 xx 1 x各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式 (2)ab与ab有一个是定值，即当ab是定值时，可以求ab的最值；当ab是定 值时，可以求ab的最值如果ab和ab都不是定值，那么就会得出错误答案例如，当x1 时，函数f(x)x2，所
5、以函数f(x)的最小值是 2.由于 21 x1x x1x x1是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案其原因是没有掌握均值不等x x1式求最值的条件：ab与ab有一个是定值其实，当x1 时，有x10，则函数f(x)x(x1)1213.因此，当ab与ab没有一1 x11 x1x1 1 x1个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式 (3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得.如果忽视这一点，就会得出错误答案例如，当x2 时，函数f(x)abab 2x 22，所以函数f(x)的最小值是 2.很明显x 中的各项都是正数，积也
6、1 xx1 x1 x是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ，即x1，而函数的定义域是x2，所以1 x这是一个错误的答案其原因是均值不等式中的等号不成立其实，根据解题经验，遇到 这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利 用函数的单调性求得最值利用函数单调性的定义可以证明，当x2 时，函数f(x)x是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)2 .1 x1 25 2因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成 口诀：一正、二定、三相等 二、教材中的“思考与讨论” 均值不等式与不等式a2b22ab的关系如何？请对此进行讨论2017-2
7、018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案3剖析：(1)在a2b22ab中，a，bR R；在ab2中，a，bR R.ab(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同) (3)证明的方法都是作差比较法 (4)都可以用来求最值题型一 利用均值不等式比较大小 【例 1】已知a，b，c(0，)，且abc1，试比较a2b2c2，abbcca， 的大小1 3分析：变形利用不等式找出a2b2c2与abbcca的大小，结合条件abc1再找两代数式与 的关系，从而确定它们的大小1 3反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式 的形式并让其符合
8、运用不等式的条件化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用 一些基本公式和一些常见的代换进行变形 题型二 利用均值不等式求最值【例 2】已知x，y(0，)，且 2xy1，求 的最小值1 x1 y分析：1 x1 y1x1 y11x1 y2xy利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口定 值找到还要看“”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“” 是否成立 题型三 利用均值不等式证明不等式 【例 3】已知a，b，c都是正实数，且abc1， 求证：(1a)(1b)(1c)8abc. 分析：注意到abc1，故可运用“常数代换”的策略将所证
9、不等式的左边的 “1”代换成字母形式 反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1” 的整体代换及三个“”必须同时取到 题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例 4】已知不等式(xy)( )9 对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小1 xa y值分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不 等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案4题型五 易错辨析【例 5】已知 0x1，求f(x)2log5x的最值5 log5x错解：f(x)2log5x2222，
10、f(x)的最小值为5 log5xlog5x5 log5x522.5错因分析：ab2的前提条件是a，bR R，0x1，log5x0.0.ab5 log5x不能直接使用均值不等式【例 6】求f(x)1 的最小值x24x23错解：因为f(x)111213，所以x24x23x231x23x231x23f(x)1 的最小值为 3.x24x23错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程无解，所以等号不成x231x23立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值1 对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )Aab2 Babab 2abCa2b22ab D 2b aa b2 已知a，bR R，且a2b2
11、4，那么ab( ) A有最大值 2，有最小值2 B有最大值 2，但无最小值 C有最小值 2，但无最大值 D有最大值 2，有最小值 03 设x，y为正数，则(xy)( )的最小值为( )1 x4 yA6 B9 C12 D154 若x3，那么当x_时，yx取最小值_1 x35 已知x，yR R，且x4y1，则xy的最大值为_ 答案：答案： 基础知识基础知识梳理梳理 1 ab 【做一做 1】B2(1) ab (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大ab 2ab 于或等于它的几何平均值【做一做 21】2 x0x 2，当且仅当x ，即x时，等号成立22 x22 x22017-2018 学年
12、人教 B 版高中数学必修 5 导学案5【做一做 22】 0x ，13x0.1 121 3yx(13x) 3x(13x) 2，当且仅当 3x13x，即x1 31 33x(13x) 21 12时，等号成立1 6x 时，函数取得最大值.1 61 123(1)xy S2 (2)xy 21 4P【做一做 3】(1)2 (2) (1)当xy15 时，xy22，当且仅当15225 4xy15 xy时，等号成立所以xy的最小值为 2；1515(2)当xy15 时，所以xy，当且仅当xy时，等号成xyxy 215 2225 415 2立所以xy的最大值为.225 4 典型例题典型例题领悟领悟 【例 1】解：解：
13、a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc， 2(a2b2c2)2ab2ac2bc. a2b2c2abacbc. 式两边分别加上a2b2c2，得 3(a2b2c2)(abc)21，a2b2c2 .1 3 由式，得 3(abbcca)a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，abbcca .1 3综上，知a2b2c2 abbcca.1 3【例 2】解：解： ( )(2xy)1 x1 y1 x1 y2 13 3232，2x yy x2x yy x2x yyx2当且仅当 ，即Error!Error!时等号成立2x yy x 的最小值为 32.1 x1 y2 【例 3】证明：abc1， (1a
14、)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab) 又a，b，c都是正实数，0，0，0.ab 2abbc 2bcac 2acabc.(ab)(bc)(ac) 8 (1a)(1b)(1c)8abc.当且仅当abc 时，等号成立1 3【例 4】解：解：(xy)( )1a ，1 xa yy xax y2017-2018 学年人教 B 版高中数学必修 5 导学案6又x0，y0，a0， 22，y xax yy xax ya1a 1a2，y xax ya要使(xy)( )9 对任意正实数x，y恒成立，只需 1a29 恒成立即1 xa ya 可 (1)29，即13，a4，aa 正实数a的最小值为 4. 【例 5】正解：正解：0x1，log5x0.(log5x
