《2017-2018学年高中数学特征值与特征向量教学案苏教版选修4-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学特征值与特征向量教学案苏教版选修4-2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案1特征值与特征向量特征值与特征向量1设矩阵A A，对于实数，若存在一个非零向量使A A，则称a b c d为A A的一个特征值，而称为A A的属于特征值的一个特征向量2设是矩阵A A的属于特征值的一个特征向量，则有：(1)k(k0)也是矩阵A A的属于特征值的特征向量(2)A Ann(nN N*)3多项式f()称为矩阵A A的特征多项式，方程f()0 称为|a b c d|a b c d矩阵A A的特征方程4.给定矩阵A A，求A A的特征向量和特征值一般步骤为：a b c d(1)首先求出特征方程f()0 的两个根1、2即为矩阵A
2、A的特征值(2)分别将1、2代入齐次线性方程组Error!分别求出与之相应的两组非零解1、2即为相应的特征向量对应学生用书P38特征值、特征向量的概念例 1 给定矩阵M M，N N及向量e e1，e e2.求证：2 3 1 313 2 32 1 1 21 11 1(1)M M和N N互为逆矩阵；(2)e e1和e e2都是M M的特征向量思路点拨 (1)只需证明MNMNNMNME E即可；(2)只需证明MeMe1 1e e1 1，MeMe2 2e e2 2即可精解详析 (1)因为MNMN，2 3 1 313 2 32 1 1 2 1 0 0 1苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-
3、2 教学案2NMNM ，2 1 1 22 3 1 313 2 31 0 0 1所以M M和N N互为逆矩阵(2)向量e e1 在M M的作用下，其象与其保持共线，即 ，1 12 3 1 313 2 31 11 3 1 31 31 1向量e e2在M M的作用下，其象与其保持共线，即 ，1 12 3 1 313 2 31 1 1 1所以e e1和e e2都是M M的特征向量1设A A是可逆的二阶矩阵，求证：若是A A的特征值，则是A A1的特征值1 证明：AA，A A1(AA)A A1()，A A1()(A A1)，A A1.是A A1的特征值1 1 2若向量是矩阵的一个特征向量，求m的值2 1
4、1 m 2 3解：由题意知Error!是齐次方程组Error!的一组解，即Error!解之得Error!故m的值为 12.特征值和特征向量的求法例 2 求矩阵A A的特征值与相应特征值的一个特征向量12 32 3212思路点拨 先求特征多项式，令特征多项式为 0 求出特征值，再求相应特征向量精解详析 矩阵A A的特征多项式为|12 323212|苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案32 21.1 43 4令210，解得矩阵A A的特征值为11，21.当11 时，代入齐次线性方程组得Error!即 3xy0，令x1，则y.33所以X X1是矩阵A A的属于特征值11 的一
5、个特征向量1 3当21 时，代入齐次线性方程组得Error!即xy0，令x3，则y.33所以X X2是矩阵A A的属于特征值21 的一个特征向量3 3已知矩阵A A，求它的特征值和特征向量可以分成以下两步：a b c d(1)求出矩阵A A的特征多项式等于零的全部根，它们就是矩阵A A的全部特征值(2)对于每个特征值0，解齐次线性方程组Error!，其所有非零解就是属于0的特征向量3已知矩阵A A，求A A的特征值及其对应的所有特征向量3 4 5 2解：由f(x)|3 4 5 2|(3)(2)2025140得矩阵A A的特征值为17，22.当17 时，由方程组Error!得1.1 1故矩阵A
6、A属于特征值7 的所有特征向量为(k0)k k当x22 时，由方程组Error!得2.4 5故矩阵A A属于特征值2 的所有特征向量为(k0)4k 5k苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案44矩阵A A的特征值为1,2，求m，n的值3 2 m n解：f()(3)(n)2m|3 2 m n|2(3n)3n2m，据题意可知方程(关于的)2(3n)3n2m0 的两个根为1,2；Error!Error!由特征值和特征向量求矩阵例 3 已知二阶矩阵A A的属于特征值1 的一个特征向量为，属于特征值 3 的1 3一个特征向量为，求矩阵A A.1 1思路点拨 利用矩阵，特征向量及特征
7、值满足的关系式构建方程组，通过解方程组求得矩阵的所有元素即可精解详析 设A A，a b c d由题意知 ， ，a b c d 1 3 1 3 a b c d 1 1 3 3即Error!解得Error!A A.2 1 3 0解此类问题可利用待定系数法，首先设出待求矩阵的元素，再利用矩阵A A、特征向量及特征值间满足AA构建方程组，最后通过解方程组求出矩阵的所有元素5已知矩阵A A有特征值18 及对应的特征向量1，并有特征值22 及对1 1应的特征向量2，试确定矩阵A A.1 2解：不妨设矩阵A A，a，b，c，d均为实数由题意则有a b c d8及 2，a b c d 1 11 1 a b c
8、 d 1 21 2即Error!解得Error!即矩阵A A.6 2 4 4苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案56给定的矩阵A A，B B.1 2 1 43 2(1)求A A的特征值1，2及对应的特征向量1，2；(2)求A A4 4B B.解：(1)设A A的一个特征值为，由题意知0，|1 2 1 4|即(2)(3)0，12，23.当12 时，由 2，得A A属于特征值 2 的特征向量1；1 2 1 4 x yx y2 1当23 时，由 3，得A A属于特征值 3 的特征向量2.1 2 1 4 x yx y1 1(2)由于B B12，3 2 2 1 1 1故A A4B
9、 BA A4(12)24134216181232 16 81 81.113 97对应学生用书P401已知矩阵M M的一个特征值为 3，求其另一个特征值1 2 2 x解：矩阵M M的特征多项式为f()|1 2 2 x|(1)(x)4.由特征值为 3，可解得x1.因为(1)(1)40，得21.所以矩阵M M的另一个特征值为1.2设二阶矩阵M M，其中m，n是实数且向量是矩阵M M的属于特征值13 4 m n2 1的一个特征向量，试找出适合条件的一个矩阵M M.苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案6解：由题意知 ，3 4 m n 2 1 2 1故.2 2mn 2 12mn1，
10、取m0，n1，则M M为适合条件的一个矩阵3 4 0 13已知矩阵M M，向量，求M M4.8 5 6 37 8解：矩阵M M的特征值满足方程(8)(3)5(6)2560，|8 5 6 3|解得矩阵M M的两个特征值12，23.分别将12，23 代入方程组 ，8 5 6 3 x yx y可求得它们对应的特征向量分别可取为1，2.5 61 1显然1，2不共线，又因为2122，7 8 5 61 1因此，M M4M M4(122)M M412(M M42) 12 2242344 14 25 61 1.242 2584对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围x 2m 3m 3解：由题意知，对任
11、意实数x，矩阵总存在特征向量，x 2m 3m 3设为矩阵的一个特征值，x 2m 3m 3则f()(x)(3)(2m)(m3)|x 2m m3 3|令f()0，由题意知(x)(3)(2m)(m3)0 对任意实数x恒成立，(3x)212x4(m2)(3m)0 恒成立，即(x3)24(m2)(3m)0 恒成立由x的任意性可知 4(m2)(3m)0 恒成立，2m3.苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案75已知二阶矩阵M M有两个特征值：18，22，其中1对应的一个特征向量e e1，2对应的一个特征向量e e2，求M M.1 11 2解：设M M，则 8，a b c da b c
12、 d 1 11 1且 2.a b c d 1 21 2Error!且Error!a6，b2，c4，d4.M M.6 2 4 46已知矩阵M M，向量，.1 2 1 33 52 4(1)求向量 23在矩阵M M表示的变换作用下的象；(2)试问向量是矩阵M M的特征向量吗？为什么？1 2解：(1)因为 2323，3 52 4 12 2所以M M(23) ，1 2 1 3 12 2 8 18所以向量 23在矩阵 M M表示的变换作用下的象为.8 18(2)向量不是矩阵M M的特征向量理由如下：1 2M M ，向量与向量不共线，所以向量不是矩1 2 1 3 1 2 3 73 71 21 2阵M M的特
13、征向量7已知矩阵A A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90.(1)求矩阵A A及A A的逆矩阵B B；(2)已知矩阵M M，求M M的特征值和特征向量；3 3 2 4(3)若在矩阵B B的作用下变换为，求M M4.8 1解：(1)A A .0 1 1 0 1 0 0 2 0 2 1 0B BA A1.0 1 1 2 0苏教版 2017-2018 学年高中数学选修 4-2 教学案8(2)设M M的特征值为，则由条件，得0，|3 3 2 4|即(3)(4)62760.解得11，26.当11 时，由 ，3 3 2 4 x y x y得M M属于 1 的特征向量为1；3 2当26 时，由 6，3 3 2 4 x yx y得M M属于 6 的特征向量为
