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1、2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案3.43.4 不等式的实际应用不等式的实际应用知识梳理知识梳理数学应用性问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或者非完全的数学问题 转化成完全形式化的数学问题.利用不等式解实际应用问题一般分以下几个步骤: 1.阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少 应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要 求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能 够解决问题的思路，明确解题方向. 2.建立数学模型:根据前面的分析,把实际问题用“符
2、号语言” “图形语言”抽象成数学模型， 并且，建立所求和已知的对应关系，以便确立下一步的努力方向. 3.讨论不等关系:根据以上建立的数学模型和题目要求,应用与不等式有关的知识，讨论与 结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值. 4.作出问题结论:根据以上步骤得到的理论参数值,结合题目要求作出问题的结论. 知识导学知识导学本节课的主要内容是利用所学的不等式的有关知识解决实际问题，关键在于正确理解 题意，寻找相等与不等关系，把实际问题转化成数学模型，因此必须具备较强的阅读理解 能力.不等式应用题要注意与函数等有关内容的结合. 疑难突破疑难突破 1.应用题大多用文字、图表等进行叙述，要解决题设问题首
3、先要理解题中所叙述内容的含 义，也就是说，阅读题意就是最关键的一个环节.那么,使用什么样的步骤进行阅读可以加 深对题意的理解? 剖析：数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有 丰富的内涵,而数学应用题多使用汉语语言进行叙述.要正确理解应用题的含义主要可以从 以下几个步骤入手: （1）略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快 速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值 还是要解不等式得出结论等),条件是什么，求解的是什么.涉及哪些基本概念.可以一边阅 读一边写下主要内容.或者列表显示
4、主要条件和要求的结论. （2）细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来,是实 现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各 量之间的关系. （3）精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化” ，即把一个抽象的内容转化为一个具体的 内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，要有灵活的转化思维. 2.与不等式有关的应用题中,求最值是最常见的一种,那么求最值问题都有哪些类型和方法? 剖析：许多应用题都可以转化为求最值问题,有的可以直接采用均值不等式进行求解,但是 有些问题由于条件的限制使某些式子不满足等号成立的条件,但是
5、其最值又确实存在,这时,通常考虑函数 y=ax+xb(a0,b0)的单调性,利用函数单调性的定义很容易证明该函数在区间（0, ab上单调递减,在区间ab,+）上单调递增.特殊地,有函数 y=x+x1在区间（0,1上单调递减,在区间1,+）上单调递增.利用上述函数的性质也可以求解某些函数的最值,尤其是那些看似均值不等式求最值而2017-2018 学年高中数学人教 B 版必修 5 学案等号却不能取到的情况.还有些问题可以根据条件转化为一元二次函数求最值,主要根据二次项的正负和对称轴 的大小求最值:当二次项系数大于 0 时,在对称轴处取最小值;当二次项系数小于 0 时,在对 称轴处取最小值.如果其中的变量有范围限制还要根据二次函数的单调性综合考虑求出最大 或者最小值.事实上,一元二次函数在闭区间a,b上一定有最大值和最小值,主要考虑对 称轴和区间端点 a,b 三处的函数值进行比较.也可以考虑两个端点 a,b 与对称轴的距离.
