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1、2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案13柱坐标系和球坐标系对应学生用书 P15自主学习1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 O xyz，设 M(x，y，z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标为(r，)，则这样的三个数r，z 构成的有序数组(r，z)就叫作点 M 的柱坐标，这里规定r，z 的变化范围为 0r，02，z.(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，z)之间的变换公式为Error!2球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 O xyz，设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的数 r， 来确
2、定，其中 r 为原点 O 到点M 间的距离， 为有向线段与 z 轴正方向所夹的角， 为从 z 轴正半OM 轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里 P 为点OP M 在 xOy 平面上的投影(如图)这样的三个数 r， 构成的有序数组(r，)叫作点 M 的球坐标，这里 r， 的变化范围为 0r，0，02.(2)空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为Error!.合作探究1空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；
3、柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角2在极坐标系中，方程 0(0为不为 0 常数)，0(0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程 1，z1 分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程 r1， 分别表示空间中的什么曲面？4提示：在柱坐标系中，方程 1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱面；方程z1 表示与 xOy 坐标面平行的平面，此平面与 xOy 面的距离为 1 且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程 r1 表示球心在原点的单位球面；方程 表示顶点在原点，半顶42017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案2角为 的上半个圆
4、锥面，中心轴为 z 轴4对应学生用书 P16将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例 1 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图所示建立空间直角坐标系，以 Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标思路点拨 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点 C1的直角坐标，再分别化为柱坐标、球坐标即可精解详析 设点 C1的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中 0，r0.法一：结合图形及三种坐标系的概念知 C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，(2，4，1)球坐标为
5、(其中 tan ，0)(3，4)2法二：由公式Error!及Error!得Error!及Error!(x0)又Error!所以Error!及Error!结合图形得 ，4由 cos 得 tan 332所以点 C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，球坐标为(其中 tan (2，4，1)(3，4)，0)21在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距离和角大小2转化点 M 的直角坐标(x，y，z)(1)为柱坐标(r，z)时，需要对公式Error!进行变换得Error!且求 时要特别注意角 所在象限，从而确定 的取值(2)为球坐标(r，)时，需要对公式Error!进行变换得Error!(x0)2
6、017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案3若本例中条件不变，求点 C，D 的柱坐标与球坐标解：结合图形知点 C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为，球坐标为.同(2，4，0)(2，2，4)样点 D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为，球坐标为.(1，2，0)(1，2，2)由点的柱坐标求直角坐标例 2 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)；(2).(2，56，3)(2，4，5)思路点拨 本题考查关系式Error!的直接应用，设点的直角坐标为(x，y，z)，利用上述关系式求出 x，y，z 即可精解详析 (1)(r，z)，(2，56，3)Error!(，1,3)为
7、所求3(2)(r，z)，(2，4，5)Error!(1,1,5)为所求将点的柱坐标(r，z)化为直角坐标，只需运用公式Error!转化成三角函数的求值与运算即可1设点 M 的柱坐标为，求它的直角坐标(2，6，7)解：Error!Error!所以点 M 的直角坐标为(，1,7).3由点的球坐标求直角坐标例 3 设点 P 的球坐标为(r，).求它的直角坐标(2，34，34)思路点拨 本题考查关系式Error!的直接应用，解答此题需要将 r， 代入求得x，y，z 即可2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案4精解详析 (r，)，(2，34，34)Error!点 P 的直角
8、坐标为(1,1，)2利用Error!把点的球坐标化为直角坐标时，应注意坐标 r， 的几何意义及坐标(r，)的先后顺序，不要出现前后颠倒的现象2已知 M 的球坐标为，求它的直角坐标(2，34，76)解：由变换公式得：xrsin cos 2sincos.347662yrsin sin 2sinsin.347622zrcos 2cos.342它的直角坐标为.(62，22， 2)对应学生用书 P17一、选择题1设点 M 的直角坐标为(1，2)，则它的柱坐标是( )3A. B.(1，3，2)(2，43，2)C. D.(2，3，2)(3，3，2)解析：选 B 设点 M 的柱坐标为(r，z)，则 tan .
9、yx302，x0，r2，z2.43xcos 1cos432017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案5点 M 的柱坐标为.(2，43，2)2.如图所示，点 M 的球坐标为( )A.(2，4，3)B.(2，3，4)C.(2，4，6)D.(2，6，4)解析：选 A 由球坐标的定义知，|OM|2r，MOz ，xON ，43又 M(r，)，M.(2，4，3)3已知点 N 的球坐标为，则其直角坐标为( )(4，4，34)A(2,2,2) B(2，2,2)22C(2，2,2) D(2,2，2)22解析：选 A 设点 N 的直角坐标为(x，y，z)，则有Error!点 N 的直角坐标
10、为(2,2,2)24.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为( )(6，2，5)A100 B120C160 D240解析：选 B 由长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5)，C1，可知|OA|4，|OC|6，|OO1|5，(6，2，5)故长方体的体积为 456120.二、填空题5已知点 M 的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是(4，4，34)_2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案6解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案：(2,2,2) 2(2 2，34，2 2)6设点 M 的直角坐标为(1，4)
11、，则点 M 的柱坐标为_3解析：2.x2y212 32tan ，又 x0，y0， 313，柱坐标为.53(2，53，4)答案：(2，53，4)7在球坐标系中，M与 N两点间的距离是_(4，4，6)(4，4，23)解析：设点 M的直角坐标为(x，y，z)，则(4，4，6)Error!M 点的直角坐标为(， ，2)，622同理，N 点的直角坐标为(， ，2)262|MN|4. 6 22 2 622 22 22答案：48在柱坐标系中，已知 A，B及 O(0,0,0)三点，则ABO 的面积为(1，2，0)(1，2，2)_解析：A，B，O(0,0,0)，(1，2，0)(1，2，2)OAB 为直角三角形S
12、OAB |OA|AB| 121.1212答案：1三、解答题9如图建立球坐标系，正四面体 ABCD 的棱长为 1，求 A，B，C，D 的球坐标(其中O 是BCD 的中心)2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案7解：O 是BCD 的中心，OCODOB，AO.3363C，D，B，A.(33，2，0)(33，2，23)(33，2，43)(63，0，0)10在直三棱柱 ABCA1B1C1中 CACB1，BCA90，棱 AA12，M 是 A1B1的中点求点 M 的空间直角坐标、柱坐标解：建立如图所示坐标系，过点 M 作底面 xCy 的垂线，垂足为 N，则 N 为 AB 中点N.(12，12，0)M 点的空间直角坐标为 M.(12，12，2)又 CN，ACN .224M 点的柱坐标为.(22，4，2)11已知点 M 的柱坐标为，求 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标(2，4，1)解：M的直角坐标为(2，4，1)Error!M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(1，1，1)(1，1，1)的柱坐标为：2(1)2(1)22，2017-2018 学年高中数学北师大版选修 4-4 同步配套教学案8.2tan 1，又 x0，y0.11.54其柱坐标为.(2，54，1)M 关于原点 O 对称点的柱坐标为.(2，54，1)
